Основные тригонометрические формулы

sin² α + cos² α = 1

tg α = , α≠ + πn, n є Z

ctgα = , a ≠ πn, n є Z

tgα·ctgα = 1, a ≠ , n є Z

1 + tg² α = , a ≠ + πn, n є Z

1 + ctg² α = , a ≠ πn, n є Z

 

Тригонометрические формулы суммы и разности двух углов

Формула	Название формулы
sin(α + β) = sin α ·cos β + cos α ·sin β	Синус суммы
sin(α − β) = sin α ·cos β − cos α ·sin β	Синус разности
cos(α + β) = cos α ·cos β – sin α ·sin β	Косинус суммы
cos(α – β) = cos α ·cos β + sin α ·sin β	Косинус разности
tg(α + β) = α, β, α + β ≠ + πn, n є Z	Тангенс суммы
tg(α − β) = α, β, α + β ≠ + πn, n є Z	Тангенс разности

 

Тригонометрические формулы двойного угла

Формула	Название формулы
sin2 α = 2sin α· cos α	Синус двойного угла
cos2 α = cos² α – sin² α cos2 α = 2cos² α – 1 cos2 α = 1 – 2sin² α	Косинус двойного угла
tg2 α = α ≠ + , n є Z	Тангенс двойного угла

 

Формулы понижения степени

Формула	Название формулы
sin² α =	Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
cos² α =	Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
tg² α = α ≠ + πn, n є Z	Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

 

Тригонометрические формулы произведения

Формула	Название формулы
sin α ∙sin β = (cos(α − β) − cos(α + β))	Произведение синусов
cos α ∙cos β = (cos(α − β) + cos(α + β))	Произведение косинусов
sin α ∙cos β = (sin(α + β) + sin(α − β))	Произведение синуса и косинуса

 

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

sin α + sin β = 2sin ∙cos ;

sin α – sin β = 2sin ∙cos ;

cos α + cos β = 2cos ∙cos ;

cos α – cos β = –2sin ∙sin .

Формулы приведения

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения.

Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.

1. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: , π, , 2 π и острого угла α, а в правой части аргумент α.

2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?

Ответ: Если в формуле присутствуют углы или — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2 π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?

Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.

Например, sin( + α).

1) «Меняется функция или нет?»

— угол вертикальной оси, киваем головой по вертикали: «Да, меняется». Значит в правой части будет cos α.

2) «Знак?»

Угол ( + α) попадает в IV четверть. Синус в IV четверти имеет знак «минус». Значит, в правой части ставим знак «минус».

Итак, получили формулу, sin( + α) = –cos α.

Тригонометрический круг

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Он заменяет десяток таблиц.

Сколько полезного на этом рисунке!

1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2π радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси x, а значение синуса — на оси y.

3. И синус, и косинус принимают значения от –1 до 1.

Тригонометрический круг:

1. Значение тангенса угла α тоже легко найти — поделив sinα на cosα. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

2. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

4. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2π.

Графики тригонометрических функций

На рисунках приведены графики тригонометрических функций: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

1. График функции y = sin x

2. График функции y = cos x

3. График функции y = tg x

4. График функции y = ctg x

 

 

Площади плоских фигур

Большинство планиметрических задач на экзамене заканчиваются словами «найти площадь…». В 99% таких задач работать в итоге придется с самыми простыми известными плоскими фигурами, а именно находить площадь треугольников, четырехугольников и окружности. На этом занятии мы рассмотрим и повторим все основные формулы нахождения площадей, а также обратим внимание на частные случаи, которые могут существенно облегчить задачу.

Цель урока ― обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по нахождению площадей плоских фигур. Сначала мы систематизируем и обобщим знания и умения по теме, затем вы должны будете выполнить несколько типов заданий, которые помогут закрепить материал и легко справиться с задачами такого типа на экзамене.

 

 

Треугольник

Существует пять основных формул нахождения площади произвольного треугольника:

S = ⋅ a ⋅ h,где a ― сторона треугольника, h ― высота, проведенная к этой стороне.

S = ∙ a ∙ b ∙ sin γ, где a, b ― стороны треугольника, γ ― величина угла между ними.

S = (формула Герона), где a, b, c ― стороны треугольника, p ― полупериметр треугольника.

S = r ∙ p, где r ― радиус вписанной окружности, p ― полупериметр треугольника.

S = , где a, b, c ― стороны треугольника, R ― радиус описанной окружности.

Как следствия из этих формул, можно отметить следующие частные случаи:

Прямоугольный треугольник S = ⋅ a ⋅ b

Равнобедренный треугольник S = ∙ a ∙

Равносторонний треугольник S = ∙ a 2 ∙ √3

 

Пример: Найдите площадь треугольника, если известны три его стороны: 5, 9, 12.

Решение: Прежде всего определяемся с подходящей формулой нахождения площади. Есть ли среди пяти основных форму та, в которой мы используем три стороны? Да, это формула Герона. Тогда:

S = , P = = = 13.

S = = = 4√26.

Ответ: 4√26.

 

 

Параллелограмм

S = a ∙ h, где a ― сторона параллелограмма, h ― высота, проведенная к этой стороне.

S = a ∙ b ∙ sin γ, где a, b ― стороны параллелограмма, γ ― величина угла между ними.

Как следствия из этих формул, можно отметить следующие частные случаи:

Прямоугольник S = a ∙ b

Квадрат S = a 2

Ромб S = ∙ d 1 ∙ d 2

Пример: Стороны параллелограмма равны 1 и √3, а его площадь равна 1,5. Чему равен тупой угол, образованный его сторонами?

Решение: Даны стороны и площадь, найти необходимо угол. Подходящая формула: S = a ∙ b ∙ sin γ. Подставим данные из условия задачи:

1.5 = 1√3 ∙ sin γ ⇔ sin γ = .

Тогда γ =60 или 120. Но в задаче требуется найти тупой угол ⇒ γ = 120.

Ответ: 120.

 

 

Трапеция

S = ∙ h,где a, b ― основания трапеции, h ― высота трапеции.

Пример: Вычислите среднюю линию трапеции, если ее высота 6 см, а площадь 36 см2.

Решение: Зная площадь и высоту трапеции, можем найти полусумму ее оснований, а это и есть средняя линия:

S = ∙ h ⇔ 36 = ∙ 6 ⇔ = 6.

Ответ: 6 см.