Действия над векторами в координатном представлении

Наплоскости	В пространстве
Сложение векторов: = +
cx = ax + bx	cx = ax + bx
cy = ay + by	cy = ay + by
	cz = az + bz
Вычитание векторов: = –
cx = ax–bx	cx = ax–bx
cy = ay–by	cy = ay–by
	cz= az–bz
Умножение вектора на число: = λ
x = λax	x = λax
y = λay	y = λay
	z = λaz
Склярное умножение векторов: s = ·
s = axbx + ayby	s = axbx + ayby + azbz

 

Оси координат:

· ось x — ось абсцисс,

· ось y — ось ординат,

· точка О — начало координат.

Любой точке плоскости сопоставляются два числа: абсцисса x0 и ордината y0.

Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

 

 

Треугольники

Общее для всех треугольников

· Сумма углов в треугольнике равна 180°.

· Периметр треугольника равен сумме его сторон.

· h — высота в треугольнике. Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины угла, лежащего против выбранной стороны, на выбранную сторону. Может находиться как внутри, так и вне треугольника.

· Площадь треугольника равна: = .

· Через две стороны и угол между ними: S = ab · sin γ.

Внешний угол треугольника

· δ — внешний угол треугольника, является смежным с одним из внутренних углов (сумма = 180°). Из этого следует, что внешний угол равен сумме двух внутренних, но не смежных с ним, углов треугольника (α+ β = δ).

Стороны треугольника

· Сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны (a + b > c).

· Напротив большей стороны находится больший угол; напротив меньшего угла находится меньшая сторона.

· Если a<b<c, то α<β<γ и наоборот.

· Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна основаниютреугольника и равна его половине.

· Теорема косинусов:с ² = а ² + b ² – 2 ab · cos γ.

· Теорема синусов: = = . Это отношение равно 2 R, где R — радиус описанной окружности.

Признаки равенства треугольников:

· По двум сторонам и углу между ними.

· По одной стороне и двум прилегающим к ней углам.

· По трем сторонам.

Равнобедренный треугольник

· В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, как и углы при основании.

· Высота, опущенная на основание, является также биссектрисой (делит угол при вершине пополам) и медианой (делит основание пополам).

· Угол при основании = .

· Угол при вершине = 180° – 2 (угол при основании).

· Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки медиана — биссектриса — высота, то треугольник равнобедренный.

Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике:

· Все углы равны 60°.

· Периметр треугольника = 3 а.

· Площадь треугольника: .

· Точка пересечения высот, которые также являются биссектрисами и медианами, делит каждую из них в отношении 2: 1.

· Точка пересечения высот также является центром вписанной и описанной окружностей.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике:

· Один из углов = 90°;

· Сумма остальных двух углов = 90°;

· Гипотенуза является наибольшей стороной (находится напротив угла 90°);

· Площадь треугольника: = ;

· Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы

a ² + b ² = c ²;

· Если в треугольнике выполняется теорема Пифагора, то треугольник прямоугольный.

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен:

· половине гипотенузы: R= ;

· медиане, проведенной к гипотенузе: R = mc.

Подобные треугольники

· Треугольники называются подобными, если их углы равны. В подобных фигурах сохраняется отношение между соответствующими сторонами другими линейными величинами (высоты, медианы, биссектрисы и периметры): = = = .

· Также сохраняется внутреннее отношение длин: = ; = .

Признаки подобия треугольников

· По двум пропорциональным сторонам и углу между ними: = .

· По двум равным углам.

· По трем пропорциональным сторонам: = = .

 

 

Четырехугольники

Четырехугольник

· Сумма углов в любом четырехугольнике всегда равна 360°.

· Периметр любого четырехугольника равен сумме его сторон.

· Площадь (через диагонали и угол между ними)S= .

· Если соединить середины сторон четырехугольника отрезками, то получится параллелограмм, площадь которого равна половине площади четырехугольника.

· Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равна 180°: α + γ = β + δ = 180°.

· Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.

Параллелограмм

· Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

· У параллелограмма противоположные углы равны.

· Сумма углов, лежащих на одной стороне равна180°: α + β = 180°.

· Диагонали параллелограмма, делятся пополам в точке пересечения.

· Периметр параллелограмма равен 2 a + 2 b.

Площадь параллелограмма

· Через сторону и опущенную на нее высоту:S = aha = bhb.

· Через две прилежащие стороны и угол между ними:S = ab · sin α.

· Через диагонали и угол между ними:S= .

Прямоугольник

· Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны 90°.

· Диагонали равны, в точке пересечения делятся пополам.

· Периметр прямоугольника равен 2 a + 2 b.

Площадь прямоугольника

· Через стороны:S = a · b.

· Через диагональ и угол между диагоналями:S= .

Ромб

· Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

· Диагонали ромба, не будучи равны друг другу, делятся пополам в точке пересечения; перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

· Периметр ромба равен 4 a.

Квадрат

· Квадрат является параллелограммом, у которого все стороны и все углы равны между собой.

· Каждый угол квадрата равен 90°.

· Периметр квадрата равен 4 a.

· Площадь квадрата со стороной a равна: а² или .

· Диагонали квадрата равны, в точке пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов квадрата и перпендикулярны друг другу.

Трапеция

· Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет (α || β).

· Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180° (α + β = 180°).

· Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Отрезок с концами, лежащими на основаниях трапеции, делится средней линией пополам.

Равнобокая трапеция

· В равнобокой трапеции боковые стороны равны, углы при нижнем и при верхнем основании, а также диагонали равны.

 

 

Треугольники