Формулы сокращённого умножения

 

У некоторых людей существует трудности с использованием формул сокращённого умножения. Все эти степени и скобки, внезапно превращающиеся в произведения ― да как это вообще работает? На самом деле, основная причина непонимания как раз и кроется в этом вопросе: «Как это вообще работает?» Простая зубрёжка не всегда даёт свои результаты, в то время как осознание того, откуда появляются эти выражения (что, кстати, совсем несложно, в чём мы сейчас и убедимся) позволяет раз и навсегда расправиться с проблемами в этой теме.

 

Сейчас мы увидим три основных формулы сокращённого умножения, поймём, почему они называются именно так, докажем их, а затем для каждого случая рассмотрим конкретные примеры.

 

Возьмём самую распространённую формулу:

 

a2 – b2 = (a – b)∙(a + b).

 

Для начала отвлечёмся от математики и попытаемся прочитать левую часть этой формулы. Да-да, вы не ослышались ― именно прочитать, можно даже слегка нараспев и с выражением. У нас есть два числа в квадрате, и мы вычитаем одно из другого. Таким образом, у нас есть разница квадратов (слово «чисел» обычно опускается). Собственно, это и есть формальное название этой формулы.

 

Теперь давайте взглянем на правую часть. У нас есть произведение двух скобок ― так почему бы не попробовать просто перемножить эти скобки, элемент за элементом?

 

(a – b)∙(a + b) = a 2 + ab – ba – b 2 = a 2 + ab – ab – b 2 = a 2 – b 2.

 

Так, постойте. Но это же…как раз и есть левая часть нашего равенства! Неужели, просто раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы получили нашу загадочную формулу?

 

Правильный ответ ― да, так оно и есть! Более того, математически эта формула доказывается именно таким образом. Конечно, это не единственное существующее доказательство* ― но определённо самое простое.

 

Посмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители x 2 – 4:

 

x 2 – 4 = (x – 2)∙(x + 2).

 

Теперь давайте взглянем на другую формулу, которую можно назвать паронимом нашей первой (пароним ― это похожие по звучанию, но различные по смыслу слова):

 

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

 

Я уже вижу возмущение на ваших лицах ― как же так, они же выглядят совсем по-разному! Тем не менее, давайте попробуем прочитать левую часть. Мы вычитаем одно число из другого, а затем возводим получившееся в квадрат. Ещё раз ― вычитание, а затем возведение в степень. Это определённо квадрат разницы (и снова слово «чисел» опускается). Вот теперь и правда похоже, даже несколько пугающе похоже. Как же их различить? Да очень просто ― по смыслу, так же, как мы только что делали с вами вместе. Главное правильно читать математическую (или русскую запись) и понимать, что идёт за чем ― вначале возведение в квадрат и затем вычитание, или наоборот ― вначале вычитание, а затем возведение в квадрат.

 

Но вернёмся к нашей формуле. Что такое число в квадрате? Это его произведением на самого себя, то есть:

 

(a – b)2 = (a – b)∙(a – b).

 

Как и в первом случае, у нас снова есть произведением двух скобок. Так давайте поступим точно так же и почленно перемножим их:

 

(a – b)∙(a – b) = a 2 – ab – ba + b 2 = a 2 – ab – ab + b 2 = a 2 – 2 ab + b 2.

 

Вуаля! Снова, как и в предыдущем примере, мы пришли к нужному результату, просто перемножив скобки и приведя подобные слагаемые.

 

Давайте закрепим успех, использовав эту формулу на конкретном примере. Раскроем скобки (1 – 2 xy)2:

 

(1 – 2 xy)2 = 1 – 4 xy + 4 x 2 y 2.

 

И ещё одна формула ― на этот раз внешне очень похожая на вторую, но имеющая другой смысл (в русском языке нет подходящего определения для таких слов. Может, оно и к лучшему):

 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

 

Вспоминаем, что такое число в квадрате, и опять перемножаем скобки:

 

(a + b)∙(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2.

 

Отлично, вот мы доказали и это выражение! Но как же оно называется? Посмотрим, что у нас есть. Два числа вначале складываются, а потом возводятся в квадрат. Это явно квадрат суммы.

 

Раскроем скобки и успростим (5 + 3 х)2 – 9 х 2:

 

(5 + 3 х)2 – 9 х 2 = 25 + 30 х + 9 х 2 – 9 х 2 = 30 х + 25.

 

Итак, мы с вами успешно разобрались с тремя основными формулами сокращённого умножения, а главное ― поняли, как именно они выводятся. Ещё две формулы (куб разницы и куб суммы, соответственно) ждут вас в домашнем задании, так же как и около десяти примеров для закрепления полученных знаний. Сейчас же давайте ещё раз повторим, что мы узнали:

 

разница квадратов	квадрат разницы	квадрат суммы
a2 – b2 = (a – b)∙(a + b)	(a – b)2 = a2 – 2ab + b2	(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

Успехов!

 

_____________________________________________________________________________

* Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тысяч лет тому назад. Их знали вавилоняне, греки и другие народы древности. Правда, доказывались эти формулы не алгебраически, а геометрически (вообще, практически вся математика в то время сводилась к геометрии). Например, для доказательства разницы квадратов рисовались два квадрата (один в другом), один со стороной a, другой ― со стороной b. Тогда a 2 – b 2 ― это разница площадей квадратов, то есть закрашенная оранжевым часть. (Любопытствующие могут посчитать эту площадь и убедиться, что она равна (a – b)∙(a + b)).

 

Целые числа

Числовые множества

Натуральные числа — это числа 1, 2, 3,… Натуральные числа мы используем для счёта, а счёт начинается с единицы. Поэтому ноль не является натуральным числом!

Множество натуральных чисел обозначается N.

Целые числа — это числа 0, ±1, ±2, ±3,… Натуральные числа являются целыми положительными числами. Множество целых чисел обозначается Z (именно это обозначение мы использовали в тригонометрических уравнениях для записи ответов).

Рациональные числа — это всевозможные дроби , где m ϵ Z, n ϵ N.

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все натуральные числа являются целыми, все целые — рациональными. То есть N Z Q.

Делимость

Понятие делимости относится к целым числам.

Определение. Число a делится на число b ≠ 0, если найдётся число c такое, что a = bc.

Иногда вместо слова делится говорят делится нацело. Обозначение a b.

Если a делится на b, то число b называется делителем числа a.

Например, число 16 имеет пять делителей: это 1, 2, 4, 8 и 16.

Признаки делимости:

· a делится на 2 ⇔ последняя цифра a есть 0, 2, 4, 6 или 8;

· a делится на 5 ⇔ последняя цифра a есть 0 или 5;

· a делится на 10 ⇔ последняя цифра a равна 0;

· a делится на 3 ⇔ сумма цифр a делится на 3;

· a делится на 9 ⇔ сумма цифр a делится на 9.

Чётность

Определение. Число называется чётным, если оно делится на 2.

Число называется нечётным, если оно не делится на 2.

Все чётные числа: 0, ±2, ±4, ±6,… Если a чётно, то оно имеет вид a = 2 n.

Все нечётные числа: ±1, ±3, ±5,… Если a нечётно, то оно имеет вид a = 2 n + 1.

Деление с остатком

Любое число a можно разделить с остатком на любое число b ≠ 0.

А именно, найдутся два числа q и r такие, что a = b·q + r, причем 0 ≤ r ≤ │ b │.

Число q называется частным (иногда, неполным частным), а число r — остатком от деления a на b.

Простые числа

Всякое число делится на 1 и на само себя.

Если натуральное число a не равно 1 и не имеет других натуральных делителей, кроме 1 и a, то такое число a называется простым.

Вот первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Число 2 — единственное чётное простое число.

Число, не равное 1 и не являющееся простым, называется составным.

Всякое число можно разложить на простые множители.

Такое разложение единственно с точностью до порядка множителей и называется каноническим разложением. Утверждение о существовании и единственности канонического разложения называется основной теоремой арифметики.

Например, 600 = 8 · 25 · 3 = 23 · 52 · 3.

Взаимно простые числа

Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей кроме 1. Иными словами, числа a и b взаимно просты, если НОД (a, b) = 1, или по-другому дробь несократима.