Тема: «Матрицы и матричные формулы»

Цель работы: сформировать умения использовать функции Excel для выполнения различных операции над матрицами (массивами), решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы.

Основные понятия:

Формулу массива можно использовать для выполнения нескольких вычислений в целях получения одного результата.

При вводе формулы массива (формула, выполняющая несколько вычислений над одним или несколькими наборами значений, а затем возвращающая один или несколько результатов. Формулы массива заключены в фигурные скобки { } и вводятся нажатием клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.)

Этот тип формулы массива может упростить модель листа, заменив несколько отдельных формул одной формулой массива. Формулы массивов используют несколько множеств значений, которые называются массивами аргументов. Диапазон массива – это блок ячеек, который имеет общую формулу массива. Действия над массивами значительно отличаются от действий над отдельными ячейками.

Функция МУМНОЖ () определяет результат произведения нескольких матриц. При использовании этой функции важно помнить, что можно перемножить не только 2 квадратные, но и 2 прямоугольные матрицы, но при этом количество строк второй матрицы должно быть равно количеству столбцов первой матрицы, а число столбцов второй числу строк первой.

Функция МОПРЕД () вычисляет определитель квадратной матрицей. Результатом вычисления является число.

Функция МОБР () возвращает обратную матрицу.

Упражнение 1. Сложение, вычитание и произведение массивов.

1. Переименуйте Книгу на Лаб_11_Матрицы, а Лист 1 на Задание 1

2. Оформите следующие таблицы:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Пример 1

Пример 2

Пример 3

А=

В=

C=

А+В=

В-С=

А^2=

 

3. Для выполнения Примера 1 выполните следующие действия:

§ Выделите диапазон ячеек, в который требуется ввести формулу массива, т.е B6:D8

§ Нажмите на знак =

§ Выделите диапазон матрицы А

§ Нажмите на знак +

§ Выделите диапазон матрицы В

§ Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

§ У вас в строке формулы должно получится следующая формула: = {B2:D4+G2:I4}

4. Аналогичные действия выполните и для примера 2 и примера 3

Упражнение 2. Умножение матриц А и В, нахождение обратной матрицы и определителя матриц

1. Переименуйте Лист 2 на Задание 2

2. Оформите следующие таблицы:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

-1

3,1

А =

3,1

7,1

В =

2,3

С=А*В=

-1,1

-0,2

3,22

А^-1=

А*А^-1=

Det(A)=

3. Вычислите произведение матриц А*В. Для этого:

§ Выделите область L1:N3

§ Вызовите Мастер функций, выберите категорию Математические и функцию МУМНОЖ, откроется окно Палитры формул.

§ Для ввода аргумента функции в поле Массив 1 выделите первую матрицу, затем перейдите в поле Массив 2 и выделите вторую матрицу, т.е матрицу В

§ Подтвердите ввод формулы массива <Ctrl>+<Shift>+<Enter>

4. Найдите обратную матрицу к матрице А. Для этого:

§ Выделите область, в которую хотите поместить результат, B5:D7

§ Введите формулу, для этого:

§ Вызовите мастер функции и в категории математические выберите функцию МОБР.

§ В поле Массив выделите матрицу А

§ Для подтверждения ввода формулы, содержащей массив, нажмите <Ctrl>+<Shift>+<Enter>

§ Проверьте результат, вычислив произведение исходной матрицы и обратной к ней

5. Вычислите определитель матрицы А. Для этого

§ Установите курсор в ячейку L6, вызовите функцию МОПРЕД, и выделите значения матрицы А.

Упражнение 3.Необходимо решить систему линейных уравнений

Для реконструкции 3 цехов завода выделены деньги. Для 1 цеха 510000, для второго 180000, для третьего 480000. Для всех цехов необходимо купить станки трех видов А, В, С. Причем для 1 цеха 4 станка А, 8 станков В и 1 станок С. Для 2 цеха 1 станок А, 2 станка В и 1 станок С и для 3 цеха 1 станок А, 5 станков В и 4 станка С. По какой максимальной цене можно покупать станки.

Обозначим максимальные цены . Тогда

Представим данные в виде матриц А, х, b,

где матрица А – матрица коэффициентов, х – матрица неизвестных и b- матрица свободных чисел

Итак, для решения поставленной задачи необходимо решить систему линейных уравнений , где

Наиболее простыми методами решения системы линейных уравнений является метод Крамера и метод обратной матрицы.

Технология работы.

1. Переименуйте Лист1 на Задание 3

2. Вычислим A^-1 описанным ранее методом. Так как Ax=b, то x=A^-1 b. Для определения х необходимо перемножить полученную обратную матрицу A^-1 и столбец свободных членов. Алгоритм представлен на рис. 1 а результаты решения на рис. 2

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

=МОБР(C2:E4)

=МУМНОЖ(K2:M4;H2:H4)

A

B

A^-1

X

Рис.1

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

510 000

-0,3333

-0,667

A

B

180 000

A^-1

0,33333

-1,6667

0,333

X

480 000

-0,3333

1,3333

 

Задания для самостоятельной работы:

1. Сложите массивы А+В=...

2. Вычислите произведение матриц А*В=...

3. Найдите обратную матрицу к матрице (А+В). Проверьте результат, вычислив произведение исходной матрицы и обратной к ней.

4. Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

 

№ вар	Задание 1-3.	Задание 4

 

Контрольные вопросы:

1. Что представляет с собой массив?

2. С помощью каких клавиш обеспечивается ввод формул во все элементы массива?

3. Что выполняет функция МОПРЕД?

4. Какая функция выполняет умножение массивов?

5. Как решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы?

 

Лабораторная работа № 13