Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Ряд Дирихле.

Теорема 1.6 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится.

При радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Теорема 1.7 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями непрерывной положительной функции при целых значениях аргумента :

,

и пусть монотонно убывает на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если несобственный интеграл расходится.

Надо отметить, что вместо интеграла можно брать интеграл , где . Отбрасывание первых членов ряда, как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

Пример 1.11. Исследовать на сходимость ряд

, (1.10)

где - действительное число, ряд называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

, (2.1)

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

 

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И.Бернулли.

Теорема 2.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (2.1) сходится, если

1) последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т.е.

;

2) общий член ряда стремится к нулю, т.е.

.

При этом сумма ряда (2.1) удовлетворяет неравенствам .

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

32. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функционального ряда. -ая частична сумма и -ый остаток функционального ряда.

Пусть функции определены в области . Тогда выражение вида

(3.1)

называется функциональным рядом.

 

Придавая определенные значения , получаем числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение 3.2. Если числовой ряд сходится при , то ряд называется сходящимся в точке , а сама точка называется точкой сходимости ряда. Множество значений , при которых ряд (7.1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Область сходимости функционального ряда обозначим . Как правило, область не совпадает с областью , а является ее подмножеством, т.е. .