Статистические моменты плоской фигуры

 

Статистические моменты плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

;

.

 

Координаты центра масс

 

Координаты плоской фигуры вычисляются по следующим формулам:

;

.

 

Моменты инерции плоской фигуры

 

Моментом инерции материальной точки массы относительно оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки до оси, т.е. .

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

;

.

Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат вычисляется по следующей формуле:

.

Тройной интеграл. Схема получения тройного интеграла.

Схема получения тройного интеграла

1) Разбиваем область на «элементарных областей» .

2) Объем «элементарной области» обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .

3) Возьмем произвольную точку .

4) Находим .

5) Составляем интегральную сумму

.

6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что .

.

Предел интегральной суммы, когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю, называется тройным интегралом от на замкнутой областью .

 

Таким образом, тройным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:

. (1.7)

 

- интегрируемая функция в области ;

- область интегрирования;

, и - переменные интегрирования;

или - элемент объема.

7. Основные свойства тройного интеграла (хотя бы 4 свойства). Формула вычисления тройного интеграла в декартовой системе координат.

Свойства:

1. , где .

 

2.

3. Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение , где - линия, разделяющая и (см. рисунок), то

 

 

4. Если в области имеет место неравенство , то и

.

5. Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

Тогда тройной интеграл в декартовых координатах вычисляется по следующей формуле:

. (1.8)

 

 

Замена переменной в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

При вычислении тройного интеграла, как и для двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных.

Пусть совершается подстановка , и . Если эти функции имеют в некоторой области пространства непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

,

то справедлива формула замены переменной в тройном интеграле:

(1.9)

Здесь - определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства)