Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства КРИ-II.

Криволинейный интеграл II рода определяется так же, как и интеграл I.

Пусть в пространстве () задан вектор

,

координаты которого – непрерывные функции в точках ориентированной кривой .

Кривую разобьем в направлении от к на элементарных дуг и построим векторы , где - проекции векторов на оси координат.

 

Начала этих векторов совпадают с началом элементарных дуг , а концы – с их концами. На каждой элементарной части выберем произвольную точку и составим интегральную сумму

.

Предел интегральной суммы, найденный при условии, что , и не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора произвольной точки , называется криволинейным интегралом второго рода (КРИ-II) или криволинейным интегралом по координатам от вектор-функции по кривой . Обозначается:

Если функции - непрерывны в точках гладкой кривой , то предел интегральной суммы существует, т.е. существует криволинейный интеграл второго рода.

Основные свойства КРИ-II

 

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

.

2. Если кривая точкой разбита на две части и , то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т.е.

.

 

Если кривая интегрирования замкнута, криволинейный интеграл II рода обозначается . В этом случае через кривую проводится ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по принимается такое направление, при котором область поверхности, ограниченная кривой , находится слева, если двигаться вдоль по выбранной стороне указанной поверхности, т.е. за положительный обход контура принимается обход против хода часовой стрелки.

Если плоскую область , ограниченную кривой , разбить на части, не имеющие общих внутренних точек и ограниченные замкнутыми кривыми и , то

,

где направления обхода по контурам , и - всюду либо положительные, либо отрицательные.

Вычисление КРИ-II: явное представление кривой, параметрическое представ-ление кривой. Некоторые приложения КРИ-II.

Вычисление КРИ-II, как и КРИ-I, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Явное представление кривой

Если кривая лежит в плоскости и задана уравнением , производная непрерывна на , , то

.

Параметрическое представление кривой

Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями , , где - непрерывно дифференцируемые функции, и - соответственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисления КРИ-II:

Если кривая лежит в плоскости , , то формула упрощается

Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , можно найти по формуле

,

при этом кривая , делает обход против часовой стрелки.

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле