Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.

Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.

Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная линиями . При этом: непрерывная на .

Разобьем на n частей точками x₁, x₂, …, x_n:

, x₀ = a, x_n = b.

Проведя вертикальные линии из каждой точки . Получим n криволинейных трапеций. Рассмотрим отрезок . Выберем точку . Значение функции в этой точке обозначим за f_i. построим прямоугольник с основанием и высотой f_i.

Классы интегрируемых функций.

Теорема 1: Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2: Если функция ограничена на отрезке и имеет на нём лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 3: Если функция монотонна и ограничена на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом

Теорема:

Определенный интеграл с переменным верхним пределом от функции f(x), непрерывной на [a; b] является первообразной для подынтегральной функции.

Доказательство:

Возьмем и зададим приращение , так, что

Следствие:

У каждой непрерывной функции есть первообразная.

Теорема Лейбница – Ньютона.

Теорема:

Если F(x) – какая-то первообразная для f(x), то справедлива формула:

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для f(x).

По теореме об определенном интеграле с переменным верхним пределом (Определенный интеграл с переменным верхним пределом от функции f(x), непрерывной на [a; b] является первообразной для подынтегральной функции):

– тоже первообразная для f(x).

Две первообразные для f(x) отличаются на C = const. Определим C:

Пусть x = a:

Пусть x = b:

Теорема об интегрировании по частям

Теорема:

Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a; b]. Тогда:

Доказательство:

(uv)’ = u’v + uv’ => uv – первообразная от (u’v+uv’)

Теорема о замене переменной в определенном интеграле

Теорема:

Пусть функция f(x) – непрерывная на [a; b] и функция x = φ(x) – непрерывно дифференцируема на [t₁; t₂], причем φ: [t₁;t₂]→[a; b], и φ(t₁) = a, φ(t₂) = b. Тогда:

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a; b]. Тогда:

Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)

Плоская фигура – любое ограниченное множество точек плоскости. Если плоская фигура ограничена:

1. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], f(x) ≥ 0 для всех x из отрезка [a; b], x = a, x = b, y = 0

Тогда разобьем на n частей точками x₁, x₂, …, x_n:

, x₀ = a, x_n = b.

Проведя вертикальные линии из каждой точки . Получим n криволинейных трапеций. Рассмотрим отрезок . Выберем точку . Значение функции в этой точке обозначим за f_i. построим прямоугольник с основанием и высотой f_i.

2. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], f(x) ≤ 0 для всех x из отрезка [a; b], x = a, x = b, y = 0

 

 

7. Продолжение истории =))

3. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], x = a, x = b, y = 0

 

4. Двумя графиками f₁(x) и f₂(x) (f₁(x) ≥ f₂(x) для всех x), x = a, x = b

5. Двумя графиками f₁(x) и f₂(x) (общий случай), x = a, x = b

,

где ,

где c_i – координата x точки пересечения графиков функций f₁(x) и f₂(x)

6. Простой замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением:

 

Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)

Пусть дуга – это график некоторой функцией f(x), заключенный между x = a, x = b. Пусть f(x) – определена на [a; b]. Разобьем [a; b] на n частей произвольным образом. Обозначим Δx_k = x_k – x_{k – 1}. Через точки x_i проведем вертикальные линии, параллельные Oy. Обозначим точки пересечения графика с этими линиями M₁, M₂, …, M_n-1 и соединим их. Длина ломанной , где .

По теореме Лагранжа:

Если дуга задана параметрически, то:

Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода

Несобственный интеграл первого или второго рода называется абсолютно сходящимся, если сходиться интеграл, составленный из модулей ; несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходиться, но не абсолютно ( -расходиться).

Теорема:

Если несобственный интеграл абсолютно сходиться, то он просто сходиться.

Доказательство:

Пусть - сходиться, рассмотрим 2 вспомогательные операции:

(*)

;

сх-ся сх-ся сх-ся сх-ся

Из (*) следует, что сходиться.

 

Признак Даламбера.

Пусть - ряд с неотрицательными членами. Если , то

а) - ряд -сх-ся; б) - ряд - расходится;

в) - о сходимости ничего нельзя сказать.

3 Эталон: обобщенный гармонически ;

Доказательство:

по условию теоремы начиная с будет выполняться условие ;

а) Пусть начиная с :

;

члены исследуемого рода

меньше членов геометрической прогрессии

;Геометрическая прогрессия сх-ся.

б) ; пусть для

ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Дан ряд ,если , то при

а) - ряд -сх-ся;

б) - ряд - расходится;

в) - о сходимости ничего нельзя сказать предполагается что предел

Доказательство:

(*)

1) cⁿ< 1, тогда найдём Ɛ > 0 | q= c+ Ɛ< 1

Тогда в (*) a_n < qⁿ v

По признаку сравнения из сходимости ряда , 0 < q < 1

ð сходится и

2) cⁿ> 1, тогда найдём Ɛ > 0 | c– Ɛ = q> 1

Тогда (*) из расходимости ряда , q > 1 => по теореме о сравнении, расходится и

 

Теорема Лейбница.

Если =0 (1) и u_n u_n+1>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд (3) сходится.

Доказательство:

Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (3):

S_2k= .Их можно записать в виде S_2k=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+…+(u_2k-1-u_2k), k=1,2,…

В силу условия (2) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому S_2k S_2(k+1), т.е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (3) монотонно возрастает.

Замечая, что частичные суммы S_2k можно записать также и в виде

S_2k=u₁-(u₂-u₃)-…-(u_2k-2-u_2k-1)-u_2k, k=1,2,…, и что выражения в круглых скобках в силу условия (2) неотрицательны, а u_2k>0, получаем, что S_2k<u­₁, т.е. последовательность {S_2k} ограничена сверху.

Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности {S_2k} следует, что она сходится.

Пусть =S (4). Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (3) стремятся к тому же пределу. Действительно, S_2k+1=S_2k+u_2k+1, k=1,2…(5), и так как, согласно (1), , то в силу (4) и (5) имеем (6). Из (4) и (6) следует что .

Теорема доказана.

Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.

Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная линиями . При этом: непрерывная на .

Разобьем на n частей точками x₁, x₂, …, x_n:

, x₀ = a, x_n = b.

Проведя вертикальные линии из каждой точки . Получим n криволинейных трапеций. Рассмотрим отрезок . Выберем точку . Значение функции в этой точке обозначим за f_i. построим прямоугольник с основанием и высотой f_i.