Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

ЛНДУ

у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = f(x) (1) P_i – непрерывна на отрезке (a,b)

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения

Док-во:

Для уравнения 2-го порядка (но теорема применима для уравнений любого порядка)

n=2

(1’) y” + P₁(x) y’ + P₂(x) y = f(x)

Обозначим у*(х) – частное решение ЛНДУ

(х) – общее решение ЛОДУ

Показать, что

(2) у= у*+ - общее решение ЛНДУ

Найдем:

Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’)

у*”(x) + ”(x) + P₁(x)[ у*(x)+ ’(x)] + P₂(x)[ у*(x)+ (x)] =

= [у*”(x)+ P₁(x) у*’(x)+ P₂(x) у*(x)] + [ ”(x) + P₁(x) ’ (x)+ P₂(x) (x)] = f(x) + 0 = 0

= C₁y₁(x) + C₂y₂(x), y_1,y₂ – частное решение ЛОДУ y” + P₁y’ + P₂ = 0

C₁C₂ – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям

y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀’, для любых х₀ (а,в), и любых y₀,y₀’

C₁y₁(x₀) + C₂y₂(x₀) + у*(x₀) = y₀

C₁y’₁(x₀) + C₂y’₂(x₀) + у*(x₀) = y₀’

Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского

W[y_1, y₂]≠0 =>система имеет единственное решение при любых ₀ , ’₀ ,y*_0,y*’₀, это означает у= у*+ - общее решение ЛНДУ

Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)

Если функция y_i(x) является решением ЛНДУ

(3) y⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) + … + P_ny = f_i(x) то функция = α₁y₁ + α₂y₂ + … + α_ny_n, то это функция является решением y⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) + … + P_ny = α₁ f₁(x) + α₂ f₂(x) + … + α_n f_n(x) (4)

Док-во: для n=2

y = α₁y₁ + α₂y₂

y’ = α₁y₁’ + α₂y₂’

y’’ = α₁y₁’’ + α₂y₂’’

Подставим y, y’, y”, в (4), учитываем что y₁ y₂ решение соответственного уравнения (3)

α₁y₁” + α₂y₂” + P₁(x)[ α₁y₁’+ α₂y₂’] + P₂(x)[ α₁y₁+ α₂y₂] =

= [α₁y₁” + P₁(x)α₁y’₁ + P₂(x)α₁y₁] + [α₂y₂” + P₁(x)α₂y’₂ + P₂(x)α₂y₂] = α₁f₁(x) + α₂f₂(x)

 

Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа

Метод позволяет найти решение ДУ независимо от вида правой части, когда известно общее решение соотв-го однородного ДУ.

ДУ 2-го порядка. Пусть y”+P₁(x)y’+P₂(x)y=f(x) (1) пусть y₁(x) и y₂(x) - ФСР ЛОДУ

y”+P₁(x)y’+P₂(x)y=0 (x)= C₁y₁(x)+C₂y₂(x) (2). Частное решение y*(x) в виде (14) считая при этом C₁ и C₂ не постоянными, а неизвестными функциями от x.

y*= C (x)y (x)+C (x)y (x), y*= C’ (x)y (x)+C(x) y’ (x)+C’ (x)y (x)+ C(x) y’ (x)

Пусть C (x) и C (x) C’ (x)y (x)+ C’ (x)y (x)=0 /справедливое равенство (3), тогда y* ’= C (x)y’ (x)+ C (x)y’ (x); y* ”= C (x)y’ (x)+ C (x)y” (x)+ C’ (x)y’ (x)+ C (x)y” (x).

Подставим y*, y* ’, y* ” в (1): C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C’ (x)y’ (x)+ C’ (x)y’ (x)=f(x). Т.к. y (x), y (x) решения ОДУ, то выражения []=0 C’ (x)y’ (x) + C’ (x)y’ (x)=0.

Объясним два условия и (3):

C’₁(x)y₁(x)+ C’₂(x)y₂(x)=0

C’₁(x)y’₁(x)+ C’₂(x)y’₂(x)=f(x) (4)

Неопределённые функции C’₁(x) и C’₂(x).

Определитель этой системы: W[y₁, y₂]= 0 решая эту систему, мы получим C (x)= (x), C (x)= (x) проинтегрируем и получим решение C₁(x) и C₂(x) найдены. Подставим в y*.

Для ЛНДУ n-го порядка ф-ии C_i(x) определяются из системы:

C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0

C’ (x)y’ + C’ (x)y’ +…+ C’ (x)y’ =0

……………………………………………

C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0

C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =f(x)

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд сх-ся, то предел его общего члена обязательно равен нулю т.е. .

Док-во: Пусть ряд сх-ся. Т.к. ряд сх-ся, то , S_n=a₁+a₂+…+a_n;

S_n-1=a₁+a₂+…+a_n-1.

Поэтому S_n-S_n-1=a_n

)= .

Следствие (достаточный признак сх-ти ряда)

Если или не существует, то ряд расходится точно, но, если , то ряд может сходиться, но может и расходится.

Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.

Пусть - ряд с неотрицательными членами. Для того чтобы ряд сх-ся => и <= чтобы его частные суммы были ограничены сверху(т.е. М n S_n M)

Доказательство:

По теореме Вейерштрассе, если монотонна и ограничена, то

1) -монотонно возрастает(т.к. )

2) по предположению(ограничена)

(по усл.Теоремы) = ряд сходится.

 

 

Предельный признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.

Пусть имеется два знакоположительных ряда и . Пусть существует и . Тогда эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство:

По условию Ǝ N(Ɛ); n>N(Ɛ)

Рассматривая модуль получим ;

s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="32"/><w:sz-cs w:val="32"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , Ɛ > 0, 0 < Ɛ < k => k - Ɛ > 0

Если ряд сходится, тогда по теореме о сравнении => сходится

Если ряд расходится, тогда по теореме о сравнении => расходится и

 

Признак Даламбера.

Пусть - ряд с неотрицательными членами. Если , то

а) - ряд -сх-ся; б) - ряд - расходится;

в) - о сходимости ничего нельзя сказать.

3 Эталон: обобщенный гармонически ;

Доказательство:

по условию теоремы начиная с будет выполняться условие ;

а) Пусть начиная с :

;

члены исследуемого рода

меньше членов геометрической прогрессии

;Геометрическая прогрессия сх-ся.

б) ; пусть для

ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Дан ряд ,если , то при

а) - ряд -сх-ся;

б) - ряд - расходится;

в) - о сходимости ничего нельзя сказать предполагается что предел

Доказательство:

(*)

1) cⁿ< 1, тогда найдём Ɛ > 0 | q= c+ Ɛ< 1

Тогда в (*) a_n < qⁿ v

По признаку сравнения из сходимости ряда , 0 < q < 1

ð сходится и

2) cⁿ> 1, тогда найдём Ɛ > 0 | c– Ɛ = q> 1

Тогда (*) из расходимости ряда , q > 1 => по теореме о сравнении, расходится и