ТОП 10:

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ



ЛНДУ

у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) (1) Pi – непрерывна на отрезке (a,b)

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения

Док-во:

Для уравнения 2-го порядка ( но теорема применима для уравнений любого порядка)

n=2

(1’) y” + P1(x) y’ + P2(x) y = f(x)

Обозначим у*(х) – частное решение ЛНДУ

(х) – общее решение ЛОДУ

Показать, что

(2) у= у*+ - общее решение ЛНДУ

Найдем:

Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’)

у*”(x) + ”(x) + P1(x)[ у*(x)+ ’(x)] + P2(x)[ у*(x)+ (x)] =

= [у*”(x)+ P1(x) у*’(x)+ P2(x) у*(x)] + [ ”(x) + P1(x) ’ (x)+ P2(x) (x)] = f(x) + 0 = 0

= C1y1(x) + C2y2(x), y1,y2 – частное решение ЛОДУ y” + P1y’ + P2 = 0

C1C2 – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям

y(x0)=y0 , y’(x0)=y0’, для любых х0 (а,в), и любых y0 ,y0

C1y1(x0) + C2y2(x0) + у*(x0) = y0

C1y’1(x0) + C2y’2(x0) + у*(x0) = y0

Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского

W[y1, y2]≠0 =>система имеет единственное решение при любых 0 , 0 ,y*0 ,y*’0 , это означает у= у*+ - общее решение ЛНДУ

Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)

Если функция yi(x) является решением ЛНДУ

(3) y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = fi(x) то функция = α1y1 + α2y2 + … + αnyn , то это функция является решением y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = α1 f1(x) + α2 f2(x) + … + αn fn(x) (4)

Док-во: для n=2

y = α1y1 + α2y2

y’ = α1y1’ + α2y2

y’’ = α1y1’’ + α2y2’’

Подставим y, y’, y”, в (4) , учитываем что y1 y2 решение соответственного уравнения (3)

α1y1” + α2y2” + P1(x)[ α1y1’+ α2y2’] + P2(x)[ α1y1+ α2y2] =

= [α1y1” + P1(x)α1y’1 + P2(x)α1y1] + [α2y2” + P1(x)α2y’2 + P2(x)α2y2] = α1f1(x) + α2f2(x)

 


Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа

Метод позволяет найти решение ДУ независимо от вида правой части, когда известно общее решение соотв-го однородного ДУ.

ДУ 2-го порядка. Пусть y”+P1(x)y’+P2(x)y=f(x) (1) пусть y1(x) и y2(x) - ФСР ЛОДУ

y”+P1(x)y’+P2(x)y=0 (x)= C1y1(x)+C2y2(x) (2). Частное решение y*(x) в виде (14) считая при этом C1 и C2 не постоянными, а неизвестными функциями от x.

y*= C (x)y (x)+C (x)y (x), y*= C’ (x)y (x)+C(x) y’ (x)+C’ (x)y (x)+ C(x) y’ (x)

Пусть C (x) и C (x) C’ (x)y (x)+ C’ (x)y (x)=0 /справедливое равенство (3), тогда y* ’= C (x)y’ (x)+ C (x)y’ (x); y* ”= C (x)y’ (x)+ C (x)y” (x)+ C’ (x)y’ (x)+ C (x)y” (x).

Подставим y*, y* ’, y* ” в (1): C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C’ (x)y’ (x)+ C’ (x)y’ (x)=f(x). Т.к. y (x), y (x) решения ОДУ, то выражения []=0 C’ (x)y’ (x) + C’ (x)y’ (x)=0.

Объясним два условия и (3):

C’1(x)y1(x)+ C’2(x)y2(x)=0

C’1(x)y’1(x)+ C’2(x)y’2(x)=f(x) (4)

Неопределённые функции C’1(x) и C’2(x).

Определитель этой системы: W[y1, y2]= 0 решая эту систему, мы получим C (x)= (x), C (x)= (x) проинтегрируем и получим решение C1(x) и C2(x) найдены. Подставим в y*.

Для ЛНДУ n-го порядка ф-ии Ci(x) определяются из системы:

C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0

C’ (x)y’ + C’ (x)y’ +…+ C’ (x)y’ =0

……………………………………………

C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0

C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =f(x)

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд сх-ся, то предел его общего члена обязательно равен нулю т.е. .

Док-во: Пусть ряд сх-ся. Т.к. ряд сх-ся, то , Sn=a1+a2+…+an;

Sn-1=a1+a2+…+an-1.

Поэтому Sn-Sn-1=an

)= .

Следствие (достаточный признак сх-ти ряда)

Если или не существует, то ряд расходится точно, но, если , то ряд может сходиться, но может и расходится.



Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.

Пусть - ряд с неотрицательными членами. Для того чтобы ряд сх-ся => и <= чтобы его частные суммы были ограничены сверху(т.е. М n Sn M)

Доказательство:

По теореме Вейерштрассе, если монотонна и ограничена, то

1) -монотонно возрастает(т.к. )

2) по предположению(ограничена)

(по усл.Теоремы) = ряд сходится.

 

 

Предельный признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.

Пусть имеется два знакоположительных ряда и . Пусть существует и . Тогда эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство:

По условию Ǝ N(Ɛ); n>N(Ɛ)

Рассматривая модуль получим ;

s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="32"/><w:sz-cs w:val="32"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , Ɛ > 0, 0 < Ɛ < k => k - Ɛ > 0

Если ряд сходится, тогда по теореме о сравнении => сходится

Если ряд расходится, тогда по теореме о сравнении => расходится и

 

Признак Даламбера.

Пусть - ряд с неотрицательными членами. Если , то

а) - ряд -сх-ся; б) - ряд - расходится;

в) - о сходимости ничего нельзя сказать.

3 Эталон: обобщенный гармонически ;

Доказательство:

по условию теоремы начиная с будет выполняться условие ;

а) Пусть начиная с :

;

члены исследуемого рода

меньше членов геометрической прогрессии

;Геометрическая прогрессия сх-ся.

б) ; пусть для

ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Дан ряд ,если , то при

а) - ряд -сх-ся;

б) - ряд - расходится;

в) - о сходимости ничего нельзя сказать предполагается что предел

Доказательство:

(*)

1) cn< 1, тогда найдём Ɛ > 0 | q= c+ Ɛ< 1

Тогда в (*) an < qn v

По признаку сравнения из сходимости ряда , 0 < q < 1

ð сходится и

2) cn> 1, тогда найдём Ɛ > 0 | c– Ɛ = q> 1

Тогда (*) из расходимости ряда , q > 1 => по теореме о сравнении, расходится и

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.231.229.89 (0.014 с.)