Классы интегрируемых функций.

Теорема 1: Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2: Если функция ограничена на отрезке и имеет на нём лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 3: Если функция монотонна и ограничена на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом

Теорема:

Определенный интеграл с переменным верхним пределом от функции f(x), непрерывной на [a; b] является первообразной для подынтегральной функции.

Доказательство:

Возьмем и зададим приращение , так, что

Следствие:

У каждой непрерывной функции есть первообразная.

Теорема Лейбница – Ньютона.

Теорема:

Если F(x) – какая-то первообразная для f(x), то справедлива формула:

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для f(x).

По теореме об определенном интеграле с переменным верхним пределом (Определенный интеграл с переменным верхним пределом от функции f(x), непрерывной на [a; b] является первообразной для подынтегральной функции):

– тоже первообразная для f(x).

Две первообразные для f(x) отличаются на C = const. Определим C:

Пусть x = a:

Пусть x = b:

Теорема об интегрировании по частям

Теорема:

Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a; b]. Тогда:

Доказательство:

(uv)’ = u’v + uv’ => uv – первообразная от (u’v+uv’)

Теорема о замене переменной в определенном интеграле

Теорема:

Пусть функция f(x) – непрерывная на [a; b] и функция x = φ(x) – непрерывно дифференцируема на [t₁; t₂], причем φ: [t₁;t₂]→[a; b], и φ(t₁) = a, φ(t₂) = b. Тогда:

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a; b]. Тогда:

Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)

Плоская фигура – любое ограниченное множество точек плоскости. Если плоская фигура ограничена:

1. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], f(x) ≥ 0 для всех x из отрезка [a; b], x = a, x = b, y = 0

Тогда разобьем на n частей точками x₁, x₂, …, x_n:

, x₀ = a, x_n = b.

Проведя вертикальные линии из каждой точки . Получим n криволинейных трапеций. Рассмотрим отрезок . Выберем точку . Значение функции в этой точке обозначим за f_i. построим прямоугольник с основанием и высотой f_i.

2. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], f(x) ≤ 0 для всех x из отрезка [a; b], x = a, x = b, y = 0

 

 

7. Продолжение истории =))

3. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], x = a, x = b, y = 0

 

4. Двумя графиками f₁(x) и f₂(x) (f₁(x) ≥ f₂(x) для всех x), x = a, x = b

5. Двумя графиками f₁(x) и f₂(x) (общий случай), x = a, x = b

,

где ,

где c_i – координата x точки пересечения графиков функций f₁(x) и f₂(x)

6. Простой замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением:

 

Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)

Пусть дуга – это график некоторой функцией f(x), заключенный между x = a, x = b. Пусть f(x) – определена на [a; b]. Разобьем [a; b] на n частей произвольным образом. Обозначим Δx_k = x_k – x_{k – 1}. Через точки x_i проведем вертикальные линии, параллельные Oy. Обозначим точки пересечения графика с этими линиями M₁, M₂, …, M_n-1 и соединим их. Длина ломанной , где .

По теореме Лагранжа:

Если дуга задана параметрически, то:

Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси OX и OY (в декартовой системе координат).

Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, известно S любого сечения плоскостью, перпендик. к OX –(поперечное)

1. Разбив отрезок [a,b] на n частей a=Xₒ<X₁<X₂...<X_n=b

Обозначим ΔX_k=X_k-X_k-1, k=1,n

λ=max_[a,b]{ΔX_k}, через x_k проводим поперечное сечение

2. Выберем ξ_k [x_k-1, x_k] произвольно и найдем S(ξ_k); каждый слой тела Т представляет собой цилиндр с основанием S(ξ_k) и высотой ΔX_k

ΔV_k= S(ξ_k) ΔX_k

V=

V=

Вычисление объема тела вращения: Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью O_x и x = a, y = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x₀ = a < x₁< x₂<… < x_n = b

обозначим Δx_k = x_k-x_k-1

2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [x_k-1- x_k] выберем произвольным образом ξ_k S(ξ_k)= πf²(ξ_k) (S=πR²)

3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξ_k). Тогда объем частичного цилиндра: ΔV_k = S(ξ_k)Δx_k = πf²(ξ_k)Δx_k

4.