ТОП 10:

Классы интегрируемых функций.



Теорема 1: Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2: Если функция ограничена на отрезке и имеет на нём лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 3: Если функция монотонна и ограничена на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом

Теорема:

Определенный интеграл с переменным верхним пределом от функции f(x), непрерывной на [a; b] является первообразной для подынтегральной функции.

Доказательство:

Возьмем и зададим приращение , так, что

Следствие:

У каждой непрерывной функции есть первообразная.

Теорема Лейбница – Ньютона.

Теорема:

Если F(x) – какая-то первообразная для f(x), то справедлива формула:

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для f(x).

По теореме об определенном интеграле с переменным верхним пределом (Определенный интеграл с переменным верхним пределом от функции f(x), непрерывной на [a; b] является первообразной для подынтегральной функции):

– тоже первообразная для f(x).

Две первообразные для f(x) отличаются на C = const. Определим C:

Пусть x = a:

Пусть x = b:


Теорема об интегрировании по частям

Теорема:

Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a; b]. Тогда:

Доказательство:

(uv)’ = u’v + uv’ => uv – первообразная от (u’v+uv’)

Теорема о замене переменной в определенном интеграле

Теорема:

Пусть функция f(x) – непрерывная на [a; b] и функция x = φ(x) – непрерывно дифференцируема на [t1; t2], причем φ: [t1;t2]→[a; b], и φ(t1) = a, φ(t2) = b. Тогда:

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a; b]. Тогда:

Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)

Плоская фигура – любое ограниченное множество точек плоскости. Если плоская фигура ограничена:

1. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], f(x) ≥ 0 для всех x из отрезка [a; b], x = a, x = b, y = 0

Тогда разобьем на n частей точками x1, x2, … , xn:

, x0 = a, xn = b.

Проведя вертикальные линии из каждой точки . Получим n криволинейных трапеций. Рассмотрим отрезок . Выберем точку . Значение функции в этой точке обозначим за fi. построим прямоугольник с основанием и высотой fi.

2. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], f(x) ≤ 0 для всех x из отрезка [a; b], x = a, x = b, y = 0

 

 

7. Продолжение истории =))

3. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], x = a, x = b, y = 0

 

4. Двумя графиками f1(x) и f2(x) (f1(x) ≥ f2(x) для всех x), x = a, x = b

5. Двумя графиками f1(x) и f2(x) (общий случай), x = a, x = b

,

где ,

где ci – координата x точки пересечения графиков функций f1(x) и f2(x)

6. Простой замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением:

 

Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)

Пусть дуга – это график некоторой функцией f(x), заключенный между x = a, x = b. Пусть f(x) – определена на [a; b]. Разобьем [a; b] на n частей произвольным образом. Обозначим Δxk = xk – xk – 1. Через точки xi проведем вертикальные линии, параллельные Oy. Обозначим точки пересечения графика с этими линиями M1, M2, … , Mn-1 и соединим их. Длина ломанной , где .

По теореме Лагранжа:

Если дуга задана параметрически, то:

Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси OX и OY (в декартовой системе координат).

Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, известно S любого сечения плоскостью, перпендик. к OX –(поперечное)

1. Разбив отрезок [a,b] на n частей a=Xₒ<X₁<X₂...<Xn=b

Обозначим ΔXk=Xk-Xk-1 , k=1,n

λ=max[a,b]{ΔXk}, через xk проводим поперечное сечение

2. Выберем ξk [xk-1, xk] произвольно и найдем S(ξk); каждый слой тела Т представляет собой цилиндр с основанием S(ξk) и высотой ΔXk

ΔVk= S(ξk) ΔXk

V=

V=

Вычисление объема тела вращения:Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью Ox и x = a, y = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x0 = a < x1< x2<… < xn = b

обозначим Δxk = xk-xk-1

2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [xk-1- xk] выберем произвольным образом ξk S(ξk)= πf2k) (S=πR2)

3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξk). Тогда объем частичного цилиндра: ΔVk = S(ξk)Δxk = πf2k)Δxk

4.

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.210.23.15 (0.006 с.)