Исследование несобственных интегралов

Исследование несобственных интегралов проводят путем использования предельного перехода к определенному интегралу.

Интегралы с неограниченными пределами рассматривают так:

; ;

.

Определение 3. Если указанные пределы существуют (являются конечными числами), то соответствующий интеграл называется сходящимся и он равен своему пределу.

Определение 4. Если какой-то предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Пример 1. Вычислить интеграл и установить его сходимость.

Решение. Согласно определению несобственного интеграла имеем:

.

Итак, этот интеграл существует, сходящийся и равен 1.

Пример 2. Вычислить интеграл и установить его сходимость.

Решение. В точке подинтегральная функция неограниченна, т.е. она имеет разрыв внутри промежутка интегрирования.

По определению такого несобственного интеграла имеем:

Итак, интеграл расходится.

Пример 3. Вычислить несобственной интеграл или установить его сходимость.

Решение.

.

Пример 4. Вычислить интеграл и установить его сходимость.

Решение.

. (интеграл расходится)

Применение определенных интегралов

4.3.1 Вычисление площадей плоских фигур

Одним из важнейших применений определенного интеграла есть вычисления площадей. Рассмотрим несколько примеров.

1 Если на отрезке функция , то согласно формуле

(1) (1)

можно найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

 

 

2 Если на отрезке , то криволинейная трапеция, ограниченная кривой , отрезком и прямыми и , будет расположена ниже оси . Определенный интеграл в этом случае будет , поэтому

. (2)

3 Если площадь ограничена двумя функциями и и прямыми , , причем для , то

. (3)

 

 

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение. Для того, чтобы начертить рисунок, необходимо найти координаты точки пересечения кривых и , в которых :

.

 

 

Поскольку функции и четные, можно рассмотреть отрезок , а площадь удвоить.

Тогда

кв. ед.

4 Если криволинейная трапеция ограничена кривой, которая задается параметрически , , , причем , , то площадь вычисляется по формуле

. (4)

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом , .

Решение. Найдем , где х изменяется от до 0. Найдем:

.

Таким образом, , откуда .

5 Если кривая задается уравнением в полярных координатах , то площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

, (5)

где и – значение в предельных точках.

 

 

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .

Решение. Кривая симметрична относительно координатных осей, поэтому достаточно определить одну четвертую часть площади по формуле .

.

Таким образом, .

Вычисление длины дуги кривой

Пусть кривая на плоскости имеет уравнение . Необходимо найти длину дуги этой кривой, ограниченной прямыми и .

Разобьем отрезок на п частей точками

.

— соответствующие точки на графике .

Обозначим — длину ломаной с вершинами в этих точках.

 

Определение 1. Если существует предел , который не зависит от способа разбиения отрезка , то этот предел называется длиной дуги графика на отрезке .

Теорема 1. Если на отрезке функция и ее производная непрерывны, то длина дуги кривой , ограниченной прямыми и , вычисляется по формуле

. (1)

Пример 1. Найти длину дуги кривой .

Решение. Область определения кривой . Тогда

.

 

Если дуга задана параметрически уравнениями , , , то ее длина находится по формуле

(2)

Пример 2. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически

.

Решение. Найдем и :

, .

Вычисляем дифференциал длины дуги

.

Итак, длина дуги

ед. длины.

 

Если кривая задана уравнениям в полярных координатах , где – полярный радиус, а – полярный угол, то длина дуги находится по формуле

, (3)

где и – значение на предельных точках дуги.

 

Пример 3. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравне-нием в полярных координатах

.

Решение. Найдем :

.

Вычисляем дифференциал длины дуги:

,

тогда, длина дуги

.