Вычисление объемов тел вращения

Определение 1. Телом вращения называют пространствен-ную фигуру, которую можно получить вращением некоторой криволинейной трапеции вокруг оси .

 

 

Рассмотрим в плоскости кривую , ограниченную абсциссами и .

Разобьем тело вращения на п полос шириной .

Тогда полоса от вращения части тела шириной даст объем:

.

Объем тела вращения приближенно определяется суммой

.

Последняя сумма есть интегральная и потому

. (1)

Определение 2. Поверхностью вращения называют пространственную фигуру, которая образовывается вращением вокруг заданной прямой некоторой направленной простой дуги.

Площадь поверхности вращения можно найти по формуле

. (2)

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции , прямыми , , , то объем тела вращения, образованного вращением этой трапеции вокруг оси 0 у равняется

. (3)

Пример 1. Вычислить объем тела вращения, ограниченного линиями , , вокруг оси 0 у.

Решение.

.

Формула объема тела вращения обобщается на случай тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции , образованной графиками функций и , каждая из которых определена и непрерывна на отрезке , причем эти функции такие, что для всех . Объем такого тела вычисляется по формуле

. (4)

Пример 2. Найти объем тела, которое образовывается вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Точками пересечения линий и (обе линии – параболы) есть точки с абсциссами 0 и 1. Поэтому, воспользовавшись формулой (11), будем иметь

.

Пример 3. Вычислить объем тела, образованного прямыми и при их вращении вокруг оси абсцисс.

Решение.

Имеем

куб. ед.

Если кривая линия задается в параметрической форме уравнениями

, причем ,

то объем тела вращения вычисляется по формуле:

, (5)

а площадь поверхности тела вращения:

. (6)

Пример 4. Вычислить объем и поверхность тела вращения, образованного одной аркой циклоиды

вокруг оси .

Решение.

.

.

 

Примеры использования интегрального исчисления в задачах экономического характера

Определенный интеграл применяют для вычисления суммарных экономических эффектов, общих, маргинальных взносов и т.д. Рассмотренные примеры не исчерпывают всех возможных применений определенного интеграла в экономике.

 

Затраты, доход и прибыль

Пусть будет функцией общих затрат на производство х единиц продукции, – функция маргинальных затрат. Тогда определенный интеграл

(1)

равняется изменению общих затрат при росте количества произведенной продукции от а до b единиц.

Отсюда вытекает важное следствие:

Изменение производственных затрат при росте произведенной продукции от а до b единиц равняется площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции маргинальных затрат , отрезком и прямыми и .

Аналогично, если и – функции маргинального дохода и прибыли при росте реализации произведенной продукции от а до b единиц вычисляется по формулам:

; (2)

. (3)

Пример 1. Функция маргинальных затрат фирмы имеет вид .

Найти рост общих затрат, когда производство возрастет с 1000 до 2000 единиц.

Решение. По формуле

рост общих затрат будет:

= .

Итак, затраты возрастут на 200 гривен.

 

Максимизация прибыли во времени

Пусть , и – общие затраты, доход и прибыль, которые изменяются за время t. Тогда

, или .

Максимум общей прибыли будет тогда, когда

, или .

Другими словами, существует такое время , когда , т.е. скорости изменения дохода и затрат равны.

Общая прибыль за время можно найти по формуле

.

Пример 2. Скорости изменения затрат и дохода предприятия после начала его деятельности определялись формулами

и ,

где и измерялись миллионами гривен, а t – годами. Определить, как долго предприятие было прибыльным, и найти общую прибыль, которая было получено за это время.

Решение. Оптимальное для предприятия время получим из условия :

;

.

Итак, предприятие было прибыльным 4 года, за это время было получена прибыль

(млн. гр.).

 

Дисконтная прибыль

Пусть функция описывает изменение производительности работы некоторого предприятия за определенное время. Найдем объем продукции , которая выпущена за промежуток времени .

Известно, что если производительность работы за некоторое время постоянная, то объем продукции за промежуток времени задается формулой . В общем случае справедлива формула , где , которая тем точнее, чем меньше .

Разобьем отрезок на п частей, т.е.: .

Для величины объема продукции , который выпущен за время , имеем: ; . Тогда

.

Если , то

Поэтому по определению интеграла

,

если – производительность работы в момент времени t, тогда – объем продукции, которая выпущена за промежуток времени от 0 до T.

 

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной за t лет при годовом проценте Р, называется дисконтированием.

Задачи этого класса встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть – конечная сумма, которая получена за t лет, которую в финансовом анализе называют современной суммой. Если проценты простые, то , где – процентная ставка.

Тогда .

Если проценты сложные, то , поэтому .

Пусть прибыль за год изменяется во времени и описывается функцией при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно.

Дисконтная прибыль К за время Т вычисляется по формуле:

, где .

Пример 3. Определить дисконтную прибыль за 3 года при процентной ставке 8%, если базовые капиталовложения составили 10 млн. гривен, а ожидаемый прирост капитала 1 млн. гривен.

Решение. Очевидно, что капиталовложения задаются функцией

.

Получим дисконтную сумму капиталовложений по формуле:

, где .

млн. гривен.

Это означает, что получение одинаково нарощенной суммы через три года ежегодные вклады от 10 до 13 млн. гривен равновесны одновременному начальному вкладу 30,5 млн. гривен при той же непрерывной процентной ставке.

Пусть известна функция , которая задает изменение затрат t на изготовление продукции в зависимости от степени освоения производства, где х порядковый номер изделия в партии товара.

Тогда среднее время , затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от а до b изделий, вычисляется по теореме о среднем значении определенного интеграл:

.

Что касается функции изменения затрат времени , то как правило, она такова: , где – затрата времени на одно изделие; – показатель производственного процесса.

Пример 4. Найти среднее время, которое затрачено на освоение выпуска одного изделия в период освоения от 10 до 20 изделий, если затрата времени на 1-но изделие = 200 мин., показатель производственного процесса .

Решение. По формуле

имеем:

мин.