Кривые линии второго порядка

Определение 1. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет вид

, (1)

где коэффициенты действительные числа и хотя бы одно из чисел А, В или С отлично от нуля.

К кривым второго порядка относятся линии: о кружность, эллипс, гипербола, парабола.

Определение 2. Окружностью называется совокупность точек, равноудаленных от одной и той же фиксированной точки – центра окружности.

Уравнение окружности имеет вид:

, (2)

где – координаты центра окружности, а R – радиус окружности.

Определение 3. Эллипсом называется совокупность точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов), равна постоянной величине 2 а.

Уравнение эллипса имеет вид:

(3)

где а – большая, – малая полуоси эллипса.

 

 

Если 2 с – фокусное расстояние (расстояние между фокусами и ), то между а, b и с существует соотношение:

Определение 4. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большей оси

.

У эллипса < 1, так как с < a, а его фокусы лежат на большой оси.

Определение 5. Гиперболой называется совокупность точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух заданных точек, (фокусов), равна постоянной величине 2 а.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

(4)

где а – вещественная, b – мнимая полуоси.

 

 

Если 2 с – фокусное расстояние (расстояние между фокусами и гиперболы), то между а, b и с существует соотношение:

При b = a гипербола называется равносторонней.

Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

.

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Определение 5. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси:

Асимптоты гиперболы – две прямые, определяемые уравнениями:

Определение 6. Параболой называется совокупность точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

(5)

где р - параметр, равен расстоянию от директрисы до фокуса, р > 0.

Координаты фокуса

.

Уравнение директрисы

.

Эксцентриситет параболы

.

 

Виды уравнений параболы:

 

Пример 1. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса

.

Решение. Разделив обе части уравнения на 16, получим

или , откуда

, , , , ,

, .

Таким образом, имеем:

, , , , .

Пример 2. Построить линию, определяемую уравнением

.

Решение. Вынося за скобки коэффициенты при квадратах координат и выделяя полные квадраты, получаем

,

т. е.

или ,

где и .

Переходя к новым координатам по формулам , последнее уравнение примет вид

.

Таким образом, это уравнение является уравнением эллипса с полуосями и центром в точке , т.е. , откуда .

 

	-2

 

 

Начало новой системы координат находится в точке .

Замечание. Если уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, то путем поворота осей и надлежащим выбором угла поворота следует добиться того, чтобы в преобразованном уравнении отсутствовало произведение текущих координат.

Пример 3. Определить вид и расположение на плоскости линии

.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полные квадраты:

,

.

Разделим обе части уравнения на 36:

.

Введем новые координаты , . Уравнение примет вид

.

Оно определяет гиперболу с центром в точке и полуосями , .

 

Полярная система координат

Полярная система координат определяется некоторой точкой О, являющейся полюсом, лучом, исходящим из этой точки, называемого полярной осью, и масштабом для измерения длины.

Полярными координатами произвольной точки М называются числа – полярный радиус, и – полярный угол. Обычно положительным считается поворот против часовой стрелки. Исходя из определения, полярный радиус , а полярный угол имеет бесконечно много возможных значений.

 

 

Связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами:

; ;

; .

При этом предполагается, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс, начало координат - с полюсом, и все три оси имеют общую единицу масштаба.

 

 

 

 

Пример 1. Построить точку М с координатами в полярной системе координат.

Решение. Проведем через полюс О ось под углом к полярной оси ОР (положительное направление указано стрелкой) и отложим от полюса в положительном направлении оси отрезок ОМ, равным трем единицам масштаба. Конец М этого отрезка и будет искомой точкой.

Пример 2. Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой .

Решение. .

.

 

Примеры использования элементов аналитической геометрии в задачах экономического характера