Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы типа

Интегралы типа , где R — рациональная функция от и , подстановкой можно привести к интегралам от рациональных функций.

В самом деле, если:

; ; ; ; ,

тогда

= .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Применяем универсальную подстановку

, тогда ; ; ,

= = .

Разложим дробь под интегралом на простые дроби:

.

Отсюда

= ; ; ; .

Поэтому

J = =

= =

= .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Используем подстановку , тогда

; ; .

= = =

= = = .

Если функция нечетная относительно или , т.е.

=

или = ,

то можно использовать подстановку или .

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение.

= = =

= = = =

= = =

= .

Если функция четная относительно и одновременно, т.е.

= ,

то можно привести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки .

 

Интегралы вида

; ; .

Для интегрирования произведения синусов и косинусов разных аргументов применяются тригонометрические формулы:

Пример 4.

=

= .

 

Интегрирование четных степеней синусов и косинусов

.

Здесь следует применять формулы понижения степени

.

Пример 5.

Пример 6.

=

=

Пример 7.

.

Интегрирование нечетных степеней синусов и косинусов

Интегрирование

,

где хотя бы один из показателей т и п – нечетный, (например, ) учитывая, что , имеем:

,

где целесообразной будет подстановка .

Пример 8. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Применяя подстановку , имеем:

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Применяя подстановки

, ,

имеем

Интегрирование целых степеней тангенса и котангенса

Для интегрирования целых степеней тангенса и котангенса применяются формулы:

; .

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение.

= = =

= = =

= = =

= .

Интегрирование иррациональных функций

При интегрировании выражений, которые содержат дробные степени переменной интегрирования (т.е. иррациональности), методом подстановки сводят подинтегральную функцию к рациональной дроби. Рассмотрим несколько случаев.

Интегрирование иррациональных выражений методом подстановки

Подинтегральная функция является рациональной дробью относительно , где – дробное число. В этом случае вводят новую
переменную , где – общий знаменатель дробных показателей степени переменной х.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Имеем: .

Общий знаменатель дробных показателей степеней , , переменной х равняется 12. Поэтому сделаем подстановку , , и получим:

.

Интегрирование выражений, содержащих дробные степени линейного двучлена

Подинтегральное выражение содержит дробные степени линейного двучлена . В этом случае целесообразно сделать подстановку , где q – общий знаменатель дробных показателей степеней двучлена.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Пусть , , , .

Поэтому

.

 

Интегрирование выражений вида

, и ,

где — рациональная функция

В этом случае следует использовать тригонометрические подстановки соответственно .

После замены переменной имеем интеграл вида

,

который вычисляется с помощью подстановок или методом понижения степени с последующим возвращением к переменной х.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку .

Тогда и . После замены переменной имеем:

.

Применим понижение степени:

.

Возвращаемся к переменной х, подставляя :

.

Интегрирование иррациональных выражений, содержащих квадратичный трехчлен

1) Интеграла вида сводятся к табличным после выделения полного квадрата в знаменателе подинтегральной функции.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение.

.

2) Интеграла вида после преобразований подинтегральной функции сводятся к выше рассмотренным. Для этого надо в числителе выделить дифференциал трехчлена, который стоит в знаменателе и разложить интеграл в сумму двух интегралов.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение.

.

.

 

Упражнения к разделу 4.1

Вычислить неопределенный интеграл:

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки:

9).

10).

11).

12).

13).

14).

15).

Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям:

9).

10).

11).

12).

13).

14).

Найти неопределенный интеграл:

15).

16).

17).

18).

19).

20).

Вычислить интегралы:

21).

22).

23).

24).

25).

26).

27).

28).

29).

Вычислить интеграл:

30).

31).

32).

33).

34). 6.

35). 7.

36).

37).

38).

4.1.10 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 4.1

1 Найти неопределенный интеграл непосредственным интегрированием:

1 ; ;

; ;

; .

2 ; ;

; ;

; .

3 ; ;

; ;

; .

4 ; ;

; ;

; .

5 ; ;

; ;

; .

6 ; ;

; ;

; .

7 ; ;

; ;

; .

8 ; ; ; ; ; .

9 ; ;

; ;

; .

10 ; ;

; ;

; .

11 ; ;

; ;

; .

12 ; ;

; ;

; .

13 ; ;

; ;

; .

14 ; ;

; ;

; .

15 ; ;

; ;

; .

16 ; ;

; ;

; .

17 ; ;

; ;

; .

18 ; ;

; ;

; .

19 ; ;

; ;

; .

20 ; ;

; ;

; .

21 ; ;

; ;

; .

22 ; ;

; ;

; .

23 ; ;

; ;

; .

24 ; ;

; ;

; .

25 ; ;

; ;

; .

26 ; ;

; ;

; .

27 ; ;

; ;

; .

28 ; ;

; ;

; .

29 ; ;

; ;

; .

30 ; ;

; ;

; .

2 Вычислить неопределенные интегралы

1 ; ; .

2 ; ; .

3 ; ; .

4 ; ; .

5 ; ; .

6 ; ; .

7 ; ; .

8 ; ; .

9 ; ; .

10 ; ; .

11 ; ; .

12 ; ; .

13 ; ; .

14 ; ;

15 ; ; .

16 ; ; .

17 ; ; .

18 ; ;

19 ; ; .

20 ; ; .

21 ; ; .

22 ; ; .

23 ; ; .

24 ; ; .

25 ; ; .

26 ; ; .

27 ; ; .

28 ; ; .

29 ; ; .

30 ; ; .

Определенные и несобственные интегралы

Определение и свойства определенного интеграла