Координаты точки пересечения медиан треугольника.

№	А	В	С	№	А	В	С
	1, 1	-3,-2	3,-4		3, 0	-1,-6	-3, 1
	1,-1	-3, 1	3, 3		3, 1	-1, 4	-3,-1
	1, 2	-3,-1	0,-2		3,-1	-1, 1	0,-4
	-1, 1	-3,-2	2,-2		0, 3	6,-1	-1,-3
	-1, 2	6, 0	0,-2		0,-3	4, 6	-1,-2
	-1, 0	3, 4	6,-2		-3, 0	2, 3	6,-1
	0, 1	4, 3	6,-1		3, 4	-1, 1	2,-1
	1, 0	-3,-2	3,-3		4, 3	6,-1	1, 0
	0,-1	-6, 1	-4,-5		4,-3	1, 1	7, 2
	2, 1	-3, 0	-1,-5		-3, 4	0,-2	6, 1
	2,-1	0, 6	-5, 0		1, 0	0, 2	-1, 1
	2, 3	-2, 5	-6, 0		0, 1	-2, 0	-1,-1
	-3, 2	2, 3	6, 1		2, 1	0, 3	-1, 2
	3, 2	-2, 5	-1, 5		-1, 0	2, 2	5,-2
	-3,-2	0,-5	5, 0		0,-2	5, 2	7,-4

 

4. Даны вершины пирамиды ABCD. Найти:

1) периметр основания АВС;

2) угол между ребрами АВ и AD;

3) площадь грани АВС;

4) уравнение плоскости АВС;

5) проекцию АВ на AD;

6) объем пирамиды ABCD;

7) длину высоты пирамиды DO;

8) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC.

№	A	B	C	D
	1, 0, 0	0, 2, 1	2, 3, 4	-2, 1, 3
	2, 0, 0	1, 2, 2	-1, 1, 1	3,-1, 1
	3, 0, 0	1, 1, 1	2, 1, 0	-1, 2, 2
	-1, 0, 0	2, 1, 0	3, 2,-1	1, 1, 1
	-2, 0, 0	2, 1, 2	3,-1, 2	1, 2, 1
	-3, 0, 0	3, 1, 1	2,-1, 2	1, 2, -1
	1, 1, 0	2, 0, 1	1, 3, 0	0, 0, 4
	1, 2, 0	-2, 0, 1	0, 3, 4	3, 1, 2
	1, 3, 0	3, 1, 2	-1, 2, 1	-2, 1,-1
	1,-1, 0	2, 1, 1	-1, 2, 2	0, 0, 3
	1,-2, 0	2, 0, 0	0,-2, 1	4, 1, 2
	1,-3, 0	3, 0, 1	2, 1, 2	-1, 2, 3
	2, 1, 0	3, 2, 2	1, 0, 1	-1, 3, 3
	2, 2, 0	1, 3, 1	-1, 1, 2	3,-1, 3
	2,-2, 0	-1, 3, 4	-1, 4, 2	1,-2, 2
	-2, 1, 0	1,-1, 1	2, 2, 2	3, 0, 3
	-2,-1, 0	1, 1,-1	3, 2, 1	4, 0, 2
	2, 0, 1	3, 2, 2	-1, 1, 0	0,-1, 3
	3, 0, 1	4, 2, 2	2,-1, 1	-2, 2, 0
	1, 0, 1	2,-2, 3	0, 1, 2	3, 3, 0
	-2, 0, 1	2, 2, 2	1, 1, 3	-1, 3,-1
	-2, 0,-1	2,-1, 0	1, 1, 1	3, 4, 2
	2, 0, 2	3, 1, 1	1, 2,-1	-1, 3, 0
	3, 0, 2	2, 2, 1	4, 1, 0	-1, 4, 3
	3, 0, 4	1, 1, 3	2,-1,-1	4, 2, 1
	2, 0, 4	1, 1, 2	-1, 2, 0	0,-1, 3
	2, 0, 0	0, 0, 0	1,-1, 0	1, 1, 0
	0, 0, 1	0, 0,-2	1, 0, 0	0,-1, 1
	1, 1,-1	1, 0, 0	0, 1, 0	0, 0, 1
	0, 1,-1	1,-1, 0	2, 1,-1	3, 2, 1

 

5. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

№
	-2, 4, 7	0, 1, 2	1, 0, 1	-1, 2, 4
	6, 2,-1	1, 3, 0	2,-1, 1	0,-1, 2
	1,-4, 4	2, 1,-1	0, 3, 2	1,-1, 1
	-9, 5, 5	4, 1, 1	2, 0,-3	-1, 2, 1
	-5,-5, 5	-2, 0, 1	1, 3,-1	0, 4, 1
	13, 2, 7	5, 1, 0	2,-1, 3	1, 0,-1
	-9, -1, 7	0, 1, 1	-2, 0, 1	3, 1, 0
	3,-3, 4	1, 0, 2	0, 1, 1	2,-1, 4
	3, 3,-1	3, 1, 0	-1, 2, 1	-1, 0, 2
	-1, 7,-4	-1, 2, 1	2, 0, 3	1, 1,-1
	6, 5,-4	1, 1, 4	0,-3, 2	2, 1,-1
	5,15, 0	1, 0, 5	-1, 3, 2	0,-1, 1
	6,-1, 7	1,-2, 0	-1, 1, 3	1, 0, 4
	2,-1,11	1, 1, 0	0, 1,-2	1, 0, 3
	11, 5,-3	1, 0, 2	-1, 0, 1	2, 5,-3
	8, 0, 5	2, 0, 1	1, 1, 0	4, 1, 2
	3, 1, 8	0, 1, 3	1, 2,-1	2, 0,-1
	8, 1,12	1, 2,-1	3, 0, 2	-1, 1, 1
	-9,-8,-3	1, 4, 1	-3, 2, 0	1,-1, 2
	-5, 9,-3	0, 1,-2	3,-1, 1	4, 1, 0
	-5, 5,6	0, 5, 1	3, 2,-1	-1, 1, 0
	8, 9, 4	1, 0, 1	0,-2, 1	1, 3, 0
	23,-4,30	2, 1, 0	1,-1, 0	-3, 2, 5
	3, 1, 3	2, 1, 0	1, 0, 1	4, 2, 1
	-1, 7, 0	0, 3, 1	1,-1, 2	2,-1, 0
	11,-1, 4	1,-1, 2	3, 2, 0	-1, 1, 1
	0,-8, 9	0,-2, 1	3, 1,-1	4, 0, 1
	-3, 2,18	1, 1, 4	-3, 0, 2	1, 2,-1
	8,-7,-13	0, 1, 5	3,-1, 2	-1, 0, 1
	2, 7, 5	1, 0, 1	1,-2, 0	0, 3, 1

 

6. Преобразовать уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить ее и найти параметры, определяющие данную линию.

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).
11).	12).
13).	14).
15).	16).
17).	18).
19).	20).
21)	22).
23).	24).
25).	26).
27).	28).
29)	30).

 

Глава 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Функция, предел, непрерывность функций

3.1.1 Функция, основные понятия

Пусть даны два независимых множества Х и Y.

Определение 1. Соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается , .

Определение 2. Множество Х называется областьюопределения функции f и обозначается . Множество всех называется множеством значений функции f и обозначается

Пример 1. Найти область определения функции

.

Решение. Функция у существует, если подкоренное выражение неотрицательное. Поэтому область определения находится из неравенства:

 

Таким образом, областью определения данной функции есть отрезок .

Четность, нечетность, периодичность функций

Пусть функция задана на промежутке , который симметричен относительно начала координат.

Определение 1.Функция , определенная на промежутке , называется четной, если для любого выполняются условия ;

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение 2. Функция , определенная на промежутке , называется нечетной, если для любого выполняются условия ;

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 1. Пусть , где . Согласно известному свойству данной функции,

Следовательно, является нечетной функцией.

Пример 2. Пусть , где . Известно, что

Итак, является четной функцией.

Определение 3. Функция , определенная на всей числовой оси, называется периодической, если существует число такое, что для всех выполняется тождество

Число Т при этом называется периодом функции .

Если число Т является периодом функции , то и число – Т есть также периодом :

Если — периодическая функция с периодом Т, то функция , где , есть периодической с периодом .

В частности, если рассмотреть функцию , где — постоянные, то периодом этой функции есть число .

Пример 3. Найти период функции .

Решение. Функция имеет период , поэтому функция имеет период .

 

Основные элементарные функции и их графики

Линейная функция:

.

График функции – прямая (для построения достаточно две точки, желательно точки пересечения с осями координат):

х ^2

; .

 

Степенная функция:

х

.

Если , функция определена на всей числовой оси, т.е. .

х ^3

Если — функция четная, то принимает значение . Их графиками будут параболы соответственно второго, четвертого и т.д. порядков. Если — графики парабол третьего, пятого и т.д. порядков.

 

Показательная функция:

.

Область ее определения , область значений . Если , функция ­, если , функция ¯.

Причем, для произвольного , т.е. график произвольной экспоненты проходит через точку .

Логарифмическая функция:

а> 1

.

0 <a< 1

Эта функция обратная к показательной, , , . Поэтому график произвольной функции проходит через точку .

 

Тригонометрические функции:

.

Функции и определены для всех и имеют множество значений .

Функция определена всюду, кроме , , и монотонно возрастает в каждом интервале области определения.

Функция всюду определена, кроме , и монотонно убывает в каждом интервале области определения.

Множество значений и — промежуток .

Функции , , — нечетные, их графики симметричны относительно начала координат, — четная, ее график симметричен относительно .

Функции периодические. Наименьший период синуса и косинуса , и — .

 

 

Тригонометрические функции в интервале монотонности имеют обратные:

— обратная к на отрезке ;

— обратная к на отрезке ;

— обратная к на промежутке ;

— обратная к на промежутке .

 

 

Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки .

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке при , если для любого положительного найдется число такое, что при всех , выполняется неравенство . При этом пишут .

Определение 2. Число А называется пределом функции при , если для произвольного существует число такое, что при выполняется неравенство . При этом пишут .

Определение 3. Функция называется бесконечно малой при , если .

Определение 4. Функция называется бесконечно большой при , если .

Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие величины при .

Очевидно, что всякая б.б.ф. в окрестности точки является неограниченной в этой окрестности.

Однако, если , где , то функция ограничена в окрестности точки .

Бесконечно большие величины находятся в тесной связи с бесконечно малыми: если при данном предельном переходе функция есть бесконечно большой, то функция при этом самом предельном переходе будет бесконечно малой и наоборот.