Общие теоремы динамики точки

Для решения многих задач динамики вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики.

Количество движения точки

Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки на ее скорость .

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.

Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат равны:

, ,

Единицей измерения количества движения в СИ является –

 

Элементарный и полный импульс силы.

Действие силы на материальную точку в течении времени можно охарактеризовать элементарным импульсом силы .

Полный импульс силы за время , или импульс силы , определяется по формуле . (Полный интеграл за время от элементарного импульса).

В частном случае, если сила постоянна и по величине, и по направлению (), .

Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:

Единицей измерения импульса в СИ является –

 

Теорема об изменении количества движения точки.

Теорема. Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

Запишем основной закон динамики в виде . Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной.

Тогда , (*)

что и требовалось доказать.

В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:

Теорема импульсов (в дифференциальной форме). Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Умножим левую и правую части уравнения (*) на и получим

(**)

В проекциях на координатные оси получаем:

,

,

.

Теорема импульсов (в интегральной форме). Изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до получаем:

В проекциях на координатные оси получаем:

,

,

Момент количества движения точки.

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.

Моментом количеством движения материальной точки относительно некоторого центра О называется вектор, определяемый равенством

Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом.

Момент количества движения относительно какой-либо оси , проходящий через центр О, равен проекции вектора количества движения на эту ось .

Если количество движения задано своими проекциями на оси координат и даны координаты точки в пространстве, то момент количества движения относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента количества движения на оси координат равны:

Единицей измерения количества движения в СИ является – .

 

Теорема об изменении момента количества движения точки.

Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Доказательство: Продифференцируем момент количества движения по времени

, , следовательно , (*)

что и требовалось доказать.

Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.

Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (*) на эту ось. Для оси это будет выглядеть так:

Следствия из теорем:

1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки величина постоянная.

,

2. Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная.

,

 

Работа силы. Мощность.

Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.

Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

. ,

 

Единицей измерения работы в СИ является –

При при

Частные случаи:

Элементарное перемещение равно дифференциалу радиуса вектора точки приложения силы.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки приложения силы.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.

Если сила задана своими проекциями () на оси координат и элементарное перемещение задано своими проекциями () на оси координат, то элементарная работа силы равна:

(аналитическое выражение элементарной работы).

Работа силы на любом конечном перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.

,

Мощность равна скалярному произведению силы на скорость.

Единицей измерения мощности в СИ является –

В технике за единицу силы принимается .

Пример 1. Работа силы тяжести.

Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения в положение . Выберем оси координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх.

Тогда, , , и

 

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

 

Пример 2. Работа силы упругости.

Рассмотрим материальную точку закрепленную на упругом элементе жесткости с, которая совершает колебания вдоль оси х. Сила упругости (или восстанавливающая сила) . Пусть точка М, на которую действует только сила упругости, перемещается из положения в положение . (, ).

Работа силы упругости равна половине произведения жесткости упругого элемента на разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатия) упругого элемента.

Работа силы упругости равна площади фигуры (трапеции) расположенной под кривой .

 

Пример 3. Работа и мощность пары сил.

 

Пусть пара сил приложена к вращающемуся вокруг неподвижной оси телу. Элементарная работа пары сил равна . Полная работа пары сил равна

- угол поворота тела, - момент пары сил.

Мощность пары сил равна

 

 

Кинетическая энергия точки

Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.