Смешанное произведение векторов

Определение 1. Смешанным произведением векторов , и называется скалярное произведение вектора на вектор , т.е. .

Свойства смешанного произведения:

1) Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны).

2) Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного произведения, т.е.

.

В силу этого свойства смешанное произведение векторов , и записывается в виде .

3) Смешанное произведение не изменится, если переставить перемножаемые векторы в круговом порядке:

.

4) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет только знак:

Пусть векторы заданы их разложениями по ортам:

; ; .

Тогда

(1)

Из свойства смешанного произведения трех векторов вытекает следующее: необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие .

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов , , : смешанное произведение трех векторов , , по модулю равняется объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

, (2)

Объем пирамиды, построенной на векторах , , :

. (3)

Пример 1. Показать, что векторы , , компланарны.

Решение. Находим смешанное произведение векторов:

.

Так как , то заданные векторы компланарны.

Пример 2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами , , и .

Решение. Найдем координаты векторов , и , совпадающих с ребрами пирамиды и которые сходятся в вершине :

, , .

Находим смешанное произведение этих векторов:

.

Так как объем пирамиды равен части объема параллелепи-педа, построенного на векторах , и , то (куб. ед.).

 

Разложение вектора по базису

Определение 1. Линейно зависимыми называют векторы , если существует хотя бы одно действительное число , которое не равняется нулю и выполняется равенство

. (1)

Определение 2. Линейно независимыми называют векторы , если равенство (1) выполняется только тогда, когда все .

В системе векторов число линейно независимых векторов равняется рангу матрицы, которая составлена из координат этих векторов.

Пример 1. Определить линейную зависимость (независимость) системы векторов и системы векторов .

Решение. Сначала рассмотрим систему векторов . Найдем ранг матрицы, составленной из координат этих векторов:

.

Определитель этой матрицы

,

поэтому и векторы линейно независимы.

Теперь рассмотрим систему векторов . Матрица В составлена из координат этих векторов и имеет вид:

.

Эта матрица размера имеет ранг , поэтому векторы линейно зависимы.

Определение 3. Базисом п -мерного пространства называют любую совокупность п линейно независимых векторов п -мерного пространства.

Произвольный вектор п -мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса :

. (2)

Числа называются координатами вектора в базисе векторов .

Пример 2. Доказать, что векторы

образуют базис в , и разложить вектор в этом базисе.

Решение. Каждый из заданных векторов имеет три координаты, поэтому принадлежит трехмерному пространству . Матрица, составленная из координат этих векторов

,

имеет определитель , поэтому векторы с линейно независимы. Соответственно, эти векторы образуют базис в .

Вектор также имеет три координаты, т.е. принадлежит . Поэтому его можно представить в виде (2) или:

.

Векторы равны, когда равны их соответствующие координаты. Поэтому из последнего равенства получим:

.

Матричным методом можно найти решение этой системы

.

Итак, разложение по базису имеет вид

.

Упражнения к разделу 2.1

1. Найти , если .

Ответ: 13.

2. Определить угол между векторами и .

Ответ: .

3. Найти векторное произведение векторов и .

Ответ: .

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Ответ: 49.

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .

Ответ: 4.

6. Найти смешанное произведение векторов , , .

Ответ: 33.

7. Показать, что векторы , , компланарны.

8. Найти скалярное произведение векторов и , если .

Ответ: –96.

9. Определить угол между векторами и .

Ответ: .

10. Вычислить скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

1. ;	.	4. ;	.
2. ;	.	5. ;	.
3. ;	.	6. ;	.

Ответ: 1) 5. 2) 3. 5) 0.

11. Найти внутренние углы треугольника с вершинами , , .

Ответ: .

12. Определить, при каком значении векторы и перпендикулярны.

Ответ: .

13. Вычислить работу, произведенную силой при перемещении ее точки приложения с начала в конец вектора .

Ответ: 16.

14. Вычислить работу, произведенную силой при прямолинейном перемещении ее точки приложения из точки в точку .

Ответ: 23.

15. Три силы , которые приложены в одной точке. Вычислить, какую работу делает равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение .

Ответ: 4.

16. Вычислить площадь треугольника с вершинами:

1. . Ответ: 14.

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

17. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: 20.

3. . Ответ: .

18. Сила приложена к точке . Найти момент этой силы относительно начала координат.

Ответ: .

19. Сила приложена к точке . Найти момент этой силы относительно точки .

Ответ: .

20. Написать разложение вектора по векторам , и .

Ответ. 1) . 2) . 3) .

21. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и ( – угол между векторами и ).

Ответ. 1) 2) 3)

 

Аналитическая геометрия