Темы «Интегральное исчисление функции одной переменной. Ряды»

Цель занятия: изучить определения частных производных и правила их нахождения.

Организационная форма занятия: практикум.

Компетенции, формируемые на занятии:

- способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических, и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).

Формирование у будущих специалистов этой компетенции на занятии предполагает обучение студентов

- сформулировать гипотезу и проверить ее в дальнейшем;

- анализировать ситуации и делать выводы;

- ставить новые вопросы и видеть проблемы в традиционных ситуациях;

- абстрагировать содержание и выделять существенное.

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Функции нескольких переменных, основные определения.

2. Частные производные первого порядка.

3. Частные производные второго и более высоких порядков.

4. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

5. Производная сложной функции. Полная производная.

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1. Укажите область определения функции .

Решение. Аналитическое выражение имеет смысл при любых значениях и . Следовательно, областью определения функций является вся плоскость

2. Найдите область определения функции

Решение. Для того чтобы имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.е. и должны удовлетворять неравенству , или .

Все точки ,координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса с центром в начале координат и на границе этого круга.

3. Найдите частные производные первого порядка для функции .

Решение. Вычисляем частную производную функции по переменной при этом считаем, что - постоянная величина:

.

Аналогично, считая, что - постоянная вычисляем частную производную по переменной :

.

4. Вычислите частные производные второго порядка для функции .

Решение. Воспользуемся найденными частными производными первого порядка и , которые сами являются функциями двух переменных и . Далее дифференцируем каждую из частных производных первого порядка по каждой из двух переменных. В результате получаем четыре частные производные второго порядка:

;

;

;

.

Заметим, что смешанные частные производные равны, т.е. .

5. Для сложной функции вычислите частные производные первого порядка.

Решение. Для нахождения частных производных для сложной формулы воспользуемся формулами и . Вычисляем частные производные входящие , , , , , .

Тогда получаем

,

.

В последние выражения вместо и необходимо поставить и соответственно.

Замечание. Для случая большего числа переменных формулы нахождения частных производных обобщаются. Например, если - функция четырех аргументов а каждый из них зависит от и , то указанные формулы принимают вид

,

.

Если задана функция , где в свою очередь зависят от одного аргумента : то, является функцией только одного переменного и можно ставить вопрос о нахождений производной . Эта производная вычисляется по первой из приведенных формул: . Но так как - функция только одного , то частные производные обращаются в обыкновенные; кроме того, ; поэтому . Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной (в отличие от частной производной ).

6. Вычислите полную производную функции , если .

Решение. Воспользуемся формулой вычисления полной производной . Вычисляем , , . Тогда подставляя в формулу, получаем следующий результат:

.

Теоретические задания