Численные методы вычисления определённого интеграла

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [ а; b ]. Если она задана аналитически, и её первообразная F(x) на этом отрезке выражается в элементарных функциях, то вычисление сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница: , (16)

где F(х) – первообразная функция для f(х).

Но не для всякой непрерывной функции её первообразная выражается через элементарные функции (имеем так называемый «неберущийся» интеграл). Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а также интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально. В этих случаях применяются численные методы интегрирования.

Основная идея этих методов состоит в том, что подынтегральную функцию f(х) заменяют другой, “близкой” к ней функцией φ(х), первообразная которой находится элементарным образом, а затем приближённо полагают

(17)

Так как численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной линиями: х = а, х = b, у = 0, у = f(х), то найти приближённое значение интеграла, значит найти приближённое значение площади соответствующей криволинейной трапеции. Криволинейную трапецию с основанием [ а; b ], ограниченную сверху кривой у = f(х), заменяют (аппроксимируют) другой фигурой с тем же основанием, площадь которой близка к искомой площади криволинейной трапеции, но вычисляется проще.

Пусть на отрезке [ а; b ], а < b, задана непрерывная функция у = f(х) и требуется вычислить . Для наглядности будем считать, что f(х) > 0 на отрезке [ а; b ]. Разобьем отрезок [ а; b ] на n равных частей точками х_i (рисунок 4):

a = х₁ < x₂ < … < x_n < x_n+1 = b.

Длина h каждого из полученных отрезков [ x_i, x_i+1 ] равна:

(18)

Обозначим через у_i = f(х_i) значения функции у = f(х) в точках разбиения х_i: у₁=f(х₁), у₂=f(х₂), …, у_n=f(х_n), у_n+1=f(х_n+1).

В зависимости от того, как аппроксимируют данную функцию f(x) на каждом из отрезков [ x_i, x_i+1 ], получают различные формулы для приближённого вычисления интеграла . Мы рассмотрим наиболее простые и широко применяемые формулы: прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

а) формулы прямоугольников

При вычислении интеграла по формулам прямоугольников подынтегральная функция f(х) заменяется “ступенчатой функцией”, которая на каждом из отрезков [ x_i, x_i+1 ] имеет постоянное значение, равное значению функции f(х) на одном из концов этого отрезка.

Пусть, например, на каждом из отрезков [ x_i, x_i+1 ] ступенчатая функция принимает значения, равные значению функции f(х) на левом конце этого отрезка, т.е. равные у_i (i = 1, 2, …, n).

Тогда площадь криволинейной трапеции заменяется площадью ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке 4, а и считается приближенно равной сумме площадей прямоугольников с высотами у_i и основаниями .

 

а) б)

Рисунок 4

 

Таким образом, (19)

Если же значения ступенчатой функции на каждом из отрезков [ x_i, x_i+1 ] совпадают со значением функции на правых концах этих отрезков (рисунок 4,б), то получим формулу:

(20)

Формулы (19) и (20) называются формулами прямоугольников. Ясно, что чем меньше шаг разбиения (т.е., чем больше n), тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции, т.е. полученные формулы тем точнее, чем больше n. Иногда, в целях уточнения результата вычислений, за величину принимают среднее арифметическое значений, полученных по формулам (19) и (20).

Погрешность этих формул может быть оценена следующим образом:

, где (21)

Замечание: в случае возрастающей функции f(x) формулы прямоугольников дают приближённое значение интеграла с недостатком (формула 19) и избытком (формула 20). Для убывающей функции f(х) - все наоборот.

б) формула трапеций

При вычислении с помощью формулы трапеций подынтегральная

функция f(х) заменяется функцией, график которой представляет собой ломаную линию, соединяющую концы ординат у_i и у_i+1 (i =1,2,…, n) (рисунок 5).

В этом случае площадь криво-

линейной трапеции (следова-

тельно, и значение искомого

интеграла) считается прибли-

жённо равной сумме площадей

обычных трапеций с основания-

ми у_i и у_i+1 и высотой . Рисунок 5

или

(22)

 

Формула (22) называется формулой трапеций, её погрешность:

, где (23)

 

в) формула Симпсона

В формуле Симпсона (или парабол) части заданной кривой у = f(х) заменяются дугами парабол. В этом случае необходимо, чтобы промежуток интегрирования был разбит на чётное число равных частей (n – чётное).

Тогда справедлива следующая формула для приближенного вычисления определенного интеграла:

 

(24)

 

Это и есть формула Симпсона, а её погрешность можно оценить так:

, где (25)

 

Замечание: вычисление погрешностей расчётов по формулам (21), (23) и (25) можно принять только в тех случаях, когда существуют и легко вычисляются (или оцениваются) соответственно производные и , что на практике встречается, к сожалению, крайне редко. Однако с помощью этих формул можно получить удобные оценки погрешности, которые могут обеспечить надёжные результаты.

Пусть, например, интеграл вычислен по формуле трапеций дважды при различных значениях шага разбиения . Обозначимсоответственно через I₁, h₁, δ₁ найденное значение интеграла, значение шага разбиения и погрешность первого вычисления, а I₂, h₂, δ₂ – те же величины при втором вычислении этого же интеграла. Тогда, согласно формуле (23), имеем:

, , или

(26)

Отсюда, в частности, при уменьшении шага разбиения вдвое, т.е. , получаем . Для точного значения интеграла I при двух вычислениях с шагом и получаем ; .

Вычитая из первого уравнения второе, находим , или, применяя более общие обозначения, запишем: (27)

Следовательно, если мы вычислим по формуле трапеций интеграл , разделив отрезок интегрирования [ а; b ] первый раз на n частей, а второй раз – на 2n частей, то для второго результата погрешность приблизительно будет равняться разности результата .

Аналогично, для формулы Симпсона эта же погрешность составит

(28)

Если задана допустимая погрешность , а полученная погрешность , то (29)

Если же , то шаг опять уменьшают вдвое и вычисления повторяют. Указанный способ подсчета погрешностей называют правилом Рунге, а метод нахождения приближённого значения интеграла – методом Рунге, который используется в расчётах на ПК.