Следовательно, данный интеграл сходится.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Следовательно, данный интеграл сходится.



 

Задание 2.б Вычислите несобственный интеграл (или установите его расходимость) :

Решение. Подынтегральная функция f(x) = непрерывна в своей области определения, то есть при всех х, кроме х = 0, в которой она терпит разрыв второго рода. Согласно формуле (15) имеем:

интеграл расходится.

Задание 3.а Дан интеграл .

Найдите: 1) точное значение по формуле Ньютона-Лейбница; 2) приближённое значение (вручную) по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все промежуточные вычисления производите с округлением до четвёртого десятичного знака; 3) сравните полученные результаты с точным значением интеграла, найдя абсолютную и относительную погрешности для каждой из формул; 4) сделайте выводы.

Решение. 1) Вычислим данный интеграл, используя метод замены переменной: =

= . Подынтегральная дробь является неправильной рациональной дробью (так как в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, равной единице), в которой следует выделить целую часть. Это можно сделать двумя способами: делением «уголком» многочлена, стоящего в числителе, на знаменатель или искусственно выделяя в числителе такое же выражение, что и знаменатель. Применим в данной задаче второй способ:

2) Для вычисления интеграла по приближённым формулам разобьём отрезок интегрирования исходного интеграла [15;47] на 10 равных частей

(n = 10), тогда шаг разбиения равен : . При этом точки деления xi находятся путём прибавления к предыдущему значению шага разбиения: xi+1 =xi + h, где i =1,2,..,10, x1 = a . Запишем найденные значения во второй столбец таблицы 1. В точках деления xi определим соответствующие значения подынтегральной функции , и занесём их в таблицу 1, выделяя в ней столбцы значений функции с чётными и нечётными индексами.

а) Вычислим приближённое значение интеграла по формулам прямоугольников. Для удобства вычислений формулу прямоугольников (19) перепишем в виде: (28)

Так как подынтегральная функция убывает на отрезке [15; 47] ( что видно по её значениям в таблице 1), то, используя формулу (28), мы получим приближённое значение интеграла с избытком:

Таблица 1 – Значения подынтегральной функции

 

i хi у1, у11 уi,(i- чёт.) уi, (i – неч.)
0,1000    
18,2   0,0951  
21,4     0,0910
24,6   0,0875  
27,8     0,0844
31,0   0,0817  
34,2     0,0792
37,4   0,0770  
40,6     0,0750
43,8   0,0731  
47,0 0,0714    
  0,1714 Sчёт = 0,4144 Sнеч = 0,3296

 

Абсолютная погрешность ∆ вычислений определяется как разность между точным и приближённым значениями интеграла, взятая по абсолютной величине: (29)

Тогда .

Относительная погрешность δ определяется как отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла в процентах:

(30)

.

Формулу прямоугольников (20) запишем в виде:

(31)

Тогда, ,

приближённое значение интеграла с недостатком. Абсолютная и относительная погрешности вычислений по этой формуле составляют: , .

Для получения более точного значения данного интеграла можно взять среднее арифметическое значений полученных по формулам прямоугольников:

б) Вычислим приближённое значение интеграла, используя формулу трапеций (22), которую перепишем в виде:

(32)

Тогда для данного интеграла приближённое значение, найденное по формуле (32) равно:

.

Абсолютная и относительная погрешности равны:

, .

в) Вычислим приближённое значение интеграла по формуле Симпсона (24), которую запишем в виде:

(33)

Для данного интеграла получаем:

.

Абсолютная и относительная погрешности от применения формулы Симпсона равны нулю.

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что формула Симпсона даёт наилучшее приближение к точному значению интеграла, т.к. относительная погрешность при её применении – наименьшая.

 

Задание 3.б Вычислить приближённое значение интеграла с использованием Mathcad : .

Решение. Mathcad – программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчётов. Основное отличие Mathcad от других программных средств этого класса состоит в том, что математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации – имеют точно такой вид, как в книге, тетради или на доске.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.95.131.146 (0.012 с.)