Следовательно, данный интеграл сходится.

 

Задание 2.б Вычислите несобственный интеграл (или установите его расходимость):

Решение. Подынтегральная функция f(x) = непрерывна в своей области определения, то есть при всех х, кроме х = 0, в которой она терпит разрыв второго рода. Согласно формуле (15) имеем:

интеграл расходится.

Задание 3.а Дан интеграл .

Найдите: 1) точное значение по формуле Ньютона-Лейбница; 2) приближённое значение (вручную) по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все промежуточные вычисления производите с округлением до четвёртого десятичного знака; 3) сравните полученные результаты с точным значением интеграла, найдя абсолютную и относительную погрешности для каждой из формул; 4) сделайте выводы.

Решение. 1) Вычислим данный интеграл, используя метод замены переменной: =

= . Подынтегральная дробь является неправильной рациональной дробью (так как в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, равной единице), в которой следует выделить целую часть. Это можно сделать двумя способами: делением «уголком» многочлена, стоящего в числителе, на знаменатель или искусственно выделяя в числителе такое же выражение, что и знаменатель. Применим в данной задаче второй способ:

2) Для вычисления интеграла по приближённым формулам разобьём отрезок интегрирования исходного интеграла [15;47] на 10 равных частей

(n = 10), тогда шаг разбиения равен: . При этом точки деления x_i находятся путём прибавления к предыдущему значению шага разбиения: x_i+1 =x_i + h, где i =1,2,..,10, x₁ = a. Запишем найденные значения во второй столбец таблицы 1. В точках деления x_i определим соответствующие значения подынтегральной функции , и занесём их в таблицу 1, выделяя в ней столбцы значений функции с чётными и нечётными индексами.

а) Вычислим приближённое значение интеграла по формулам прямоугольников. Для удобства вычислений формулу прямоугольников (19) перепишем в виде: (28)

Так как подынтегральная функция убывает на отрезке [15; 47] (что видно по её значениям в таблице 1), то, используя формулу (28), мы получим приближённое значение интеграла с избытком:

Таблица 1 – Значения подынтегральной функции

 

i	хi	у1, у11	уi,(i- чёт. )	уi, (i – неч.)
		0,1000
	18,2		0,0951
	21,4			0,0910
	24,6		0,0875
	27,8			0,0844
	31,0		0,0817
	34,2			0,0792
	37,4		0,0770
	40,6			0,0750
	43,8		0,0731
	47,0	0,0714
∑		0,1714	S чёт = 0,4144	S неч = 0,3296

 

Абсолютная погрешность ∆ вычислений определяется как разность между точным и приближённым значениями интеграла, взятая по абсолютной величине: (29)

Тогда .

Относительная погрешность δ определяется как отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла в процентах:

(30)

.

Формулу прямоугольников (20) запишем в виде:

(31)

Тогда, ,

приближённое значение интеграла с недостатком. Абсолютная и относительная погрешности вычислений по этой формуле составляют: , .

Для получения более точного значения данного интеграла можно взять среднее арифметическое значений полученных по формулам прямоугольников:

б) Вычислим приближённое значение интеграла, используя формулу трапеций (22), которую перепишем в виде:

(32)

Тогда для данного интеграла приближённое значение, найденное по формуле (32) равно:

.

Абсолютная и относительная погрешности равны:

, .

в) Вычислим приближённое значение интеграла по формуле Симпсона (24), которую запишем в виде:

(33)

Для данного интеграла получаем:

.

Абсолютная и относительная погрешности от применения формулы Симпсона равны нулю.

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что формула Симпсона даёт наилучшее приближение к точному значению интеграла, т.к. относительная погрешность при её применении – наименьшая.

 

Задание 3.б Вычислить приближённое значение интеграла с использованием Mathcad: .

Решение. Mathcad – программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчётов. Основное отличие Mathcad от других программных средств этого класса состоит в том, что математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации – имеют точно такой вид, как в книге, тетради или на доске.