Рецензенты: дьяченко В. Б. , канд. Техн. Наук, профессор, зав. Каф. Информатики фгбоу впо нгма

Башняк И.М., канд.техн. наук, доц. каф. математики ФГБОУ ВПО НГМА

 

Рогозина, Ю.С.

Р 598 Определённые интегралы и их приложения: [Текст]: метод. указ. к выполнению расчётно-графической работы для студ. всех направлений / Ю.С. Рогозина, М.В. Кузнецова; Новочерк. гос. мелиор. акад., каф. мат-ки - Новочеркасск, 2012. – 31с.

 

 

Методические указания предназначены студентам I курса очной формы обучения всех направлений НГМА для организации их самостоятельной работы при выполнении расчётно-графической работы по теме «Определённые интегралы и их приложения» в курсах дисциплин: «Математика», «Высшая математика», «Математический анализ».

Ключевые слова: определённый интеграл, площадь, объём тела вращения, несобственные интегралы, численное интегрирование.

 

Оглавление

 

с

1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ……………………………….4

1.1 Геометрические приложения определённого интеграла………………4

1.2 Вычисление несобственных интегралов (или установление их расходимости)……………………………………………………………6

1.3 Численные методы вычисления определённого интеграла…………...7

2 ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.....12

3 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТНО-

ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ………………………………………………...21

ПРИЛОЖЕНИЕ. Контрольные вопросы для защиты РГР…..……………..29

ЛИТЕРАТУРА ………………………………….…………………………….30

 

 

Данное пособие предназначено для студентов I курсов всех направлений при выполнении ими расчётно-графической работы (РГР) по теме: «Определённые интегралы и их приложения».

Расчётно-графическая работа содержит 3 задания:

1. Геометрические приложения определённого интеграла:

а) вычисление площадей плоских фигур;

б) вычисление объёмов тел вращения.

Вычисление несобственных интегралов (или установление их расходимости).

Численные методы вычисления определённого интеграла.

При выполнении третьего задания предполагается один из примеров решать с применением пакета Mathcad на персональном компьютере.

Перед выполнением РГР необходимо изучить теоретический материал, используя литературу [1-4], а также конспекты лекций.

При решении задач требуется обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Вычисления следует располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных.

Чертежи можно выполнять от руки, но на миллиметровой бумаге, аккуратно и в соответствии с данными условиями, указывая оси, масштаб.

При защите РГР необходимо уметь отвечать на контрольные вопросы, которые приведены в приложении.

 

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Геометрические приложения определённого интеграла

а) вычисление площадей плоских фигур

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции у = f(х) (f(х) ≥ 0), двумя прямыми х = а и х = b, параллельными оси Оу и отрезком [ а; b ] оси Ох, или площадь криволинейной трапеции (рисунок 1,а), вычисляется по формуле: (1)

 

 

 

а) б) в)

Рисунок 1

 

Если f(х) ≤ 0 на отрезке [ а; b ] (рисунок 1,б), то площадь фигуры, ограниченной дугой графика у = f(х), а ≤ х ≤ b вычисляется по формуле:

(2)

В случае, когда фигура ограничена графиком непрерывной функции х = φ(у), (φ(у) ≥ 0), двумя прямыми х = с, х = d, параллельными оси Ох и отрезком [ с; d ] оси Оу (рисунок 1, в), её площадь вычисляется по формуле:

(3)

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций у=f₁(х) и у=f₂(х), причем f₁(х) ≤ f₂(х) на отрезке [ а; b ], и двумя прямыми х= а, х =b (рисунок 2, а), вычисляется по формуле: (4)

 

 

а) б) в)

Рисунок 2

 

Аналогично, площадь фигуры, изображённой на рисунке 2, б, вычисляется по формуле: (5)

Для фигуры, изображенной на рисунке 2, в, площадь следует определять как сумму площадей S₁ и S₂, для каждой из которых применяем формулу (1):

(6)

б) вычисление объёмов тел вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = f(х), а ≤ х ≤ b, вращается вокруг оси Ох (рисунок 3, а), то объём тела вращения вычисляется по формуле: (7)

 

 

 

а) б) в)

Рисунок 3

 

Аналогично, при вращении криволинейной трапеции ограниченной кривой х = φ(у), с ≤ у ≤ d, вокруг оси Оу (рисунок 3, б), объём тела вращения вычисляется по формуле: (8)

Если фигура, ограниченная графиками непрерывных функций у=f₁(х) и у=f₂(х), f₁(х) ≤ f₂(х) на отрезке [ а; b ], и двумя прямыми х= а, х =b (рисунок 3, в), вращается вокруг оси Ох, то объём тела вращения вычисляется по формуле: (9)

 

Вычисление несобственных интегралов (или установление их

Расходимости)

а) интегралы с бесконечными пределами

Если функция f(х) непрерывна при а ≤ х < + ∞, то по определению:

(10)

Интеграл, стоящий в левой части формулы (10) называется несобственным. Если существует конечный предел в правой части формулы (10), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует или бесконечен, то – расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл (10) в случае,когда f(х) > 0, есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = f(х), прямой

х = а и осью Ох (асимптотой).

Аналогично, определяются интегралы и :

(11)

, (12)

где с – произвольное число (обычно с = 0).

При этом несобственный интеграл (12) сходится, если существуют и конечны оба предела, стоящие в правой части формулы (12). Если хотя бы один из них не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

б) интегралы от неограниченных функций

Если функция f(x) непрерывна при а ≤ х < b и f(b) = ∞ (терпит разрыв второго рода при х = b), то по определению:

(13)

Если существует конечный предел в правой части формулы (13), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует или бесконечен, то – расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл (13) в случае f(x) > 0 есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=f(х), прямой х = а и вертикальной асимптотой х = b.

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда f(a) = ∞ (f(x) терпит разрыв второго рода при х = а):

(14)

В случае, когда с Î (а; b) – точка разрыва второго рода для f(x) (т.е. f(с) = ∞), несобственный интеграл определяется следующим образом:

(15)

При этом несобственный интеграл (15) сходится, если существуют и конечны оба предела, стоящие в правой части формулы (15). Если хотя бы один из них не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.