Понятие неопределенного интеграла.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Вологодский государственный университет

 

Кафедра высшей математики

 

МАТЕМАТИКА

Контрольная работа № 2

(2 семестр, 2015-2016 уч. год)

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочной ускоренной формы обучения

строительных специальностей

 

 

Факультет инженерно-строительный

 

Вологда

 

 

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил:

 

1. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, в двойном номере которого вторая цифра совпадает с последней цифрой его шифра - номера его зачетной книжки. Если номер заканчивается цифрой 0, то студент должен выполнять вариант №10.

2. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клеточку чернилами синего или черного цвета.

3. Образец оформления титульного листа (обложки) тетради приведен на доске объявлений деканата ФЗДО.

4. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Рабо­ты, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.

5. Задачи нужно решать в том порядке, в котором они указаны в контроль­ной работе.

6. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

7. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и моти­вируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи (ри­сунки).

8. Компьютерное оформление работы не рецензируется.

9. Возвращенная прорецензированная незачтенная работа исправляется сту­дентом; исправление записывается в конце работы. Вносить исправления в проверенный текст работы - запрещается.

 

Введение

Настоящие методические указания служат руководством для студентов-заочников при выполнении контрольных заданий, запланированных во 2 учеб­ном семестре. С их помощью студент-заочник сможет самостоятельно разо­браться в основных типах задач и справиться с выполнением контрольных заданий.

Неопределенный интеграл.

 

Понятие неопределенного интеграла.

Для начала вспомним задачу дифференцирования: дана функция . Найти новую производную функцию .

Теперь будем решать обратную задачу: дана функция . Считаем ее производной функцией от другой функции . Нужно найти формулу этой функции .

Определение Функция называется первообразной для функции

, если .

Первообразная функция обладает двумя свойствами.

Свойство 1. Если какая-то конкретная функция является первообразной для функции , то любая функция вида , где также является первообразной для функции .

Свойство 2. Пусть найдены две первообразных функции и для одной и той же функции . Какими бы разными по виду они ни были, их можно преобразовать так, что они будут отличаться только на конкретную константу , т.е. .

Из этих двух свойств получается важное следствие.

Чтобы найти все первообразные функции для функции , достаточно найти какую-нибудь одну первообразную и прибавить к ней произвольную константу . Полученное бесконечное множество первообразных функций и называется неопределенным интегралом от функции .

Фраза «Неопределенный интеграл от функции » записывается символами . Тогда понятие неопределенного интеграла символьно записывается равенством

, где -- какая - то одна первообразная для

функции , а .

Запомните термины:

-- подынтегральная функция,

-- подынтегральное выражение,

-- переменная интегрирования.

Таблица основных неопределенных интегралов

Неопределенные интегралы от основных элементарных функций приведены в следующей таблице.

 

1.		7.
2.	, если .	8.
Частные случаи:		9.
	10.
	11.
3.		12.
4.		13.
5.		14.
6.		15.

 

Теперь сформулируем правила, которые позволяют интегрировать функции, получающиеся из простейших элементарных функций с помощью умножения на число, сложения и вычитания.

1. Постоянный множитель в подынтегральной функции можно выносить за знак интеграла, т.е.

.

2. Интеграл от суммы или разности функций равен сумме (или, соответственно, разности) интегралов от этих функций, т.е.

.

К сожалению, нет единых правил для интегрирования произведения и частного функций. Также нет единого правила интегрирования сложной функции. По этой причине приходится признать, что интегрирование функций – операция более сложная, чем дифференцирование.

 

 

1.3. Интегрирование с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции

Пусть требуется найти интеграл . Как правило, исходный вид функции не подходит ни под один табличный интеграл. Нужно попытаться с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и использования свойств интеграла привести искомый интеграл к сумме табличных интегралов.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является дробью. В числителе есть разность и сумма функций. Поделим почленно числитель на знаменатель.

.

Ответ. .

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

Решение. В преобразованиях используем формулы тригонометрии.

.

Ответ. .

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение. Перемножим скобки в подынтегральном выражении, чтобы избавиться от произведения.

Ответ.

Пример 4. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Нетрудно убедиться, что в таблице такого интеграла нет. Есть интеграл , т.е. от косинуса в первой степени. Поэтому полезно вспомнить две тригонометрические формулы понижения степени.

и .

Преобразуем искомый интеграл с помощью второй формулы.

Ответ.

 

 

1.4 Замена переменной (или подведение под знак дифференциала)

Сведения из теории

Вспомним правило дифференцирования сложной функции.

Пусть дана сложная функция . Ее производная функция вычисляется по формуле . Из формулы видно, что сначала вычисляется производная внешней функции , а потом эта производная умножается на производную внутренней функции .

Вернемся к задаче интегрирования.

Как правило, искомый интеграл всегда дается в виде .

Вы сами должны увидеть, имеет ли подынтегральная функция структуру или, хотя бы, близкую к ней. Если Вы эту структуру увидели, то Вы поняли, какую формулу имеет внутренняя функция . После этого Вы обозначаете внутреннюю функцию как новую переменную . Тогда .

Нельзя просто механически заменить символ на символ . Предварительно найдем дифференциал новой переменной : . Теперь в исходном интеграле можно перейти к новой переменной интегрирования.

.

 

Замечание. В учебной литературе этот процесс замены переменной часто называется подведением под знак дифференциала.

Поясним смысл этого названия. Пусть увидели в интеграле нужную структуру, т.е.

.

По определению произведение вида равно дифференциалу функции , т.е. .

Тогда процесс замены переменной интегрирования будет выглядеть так:

Образно говоря, производная перемещается вправо за символ , превращаясь при этом в свою первообразную , и становится новой переменной интегрирования вместо . В этом и заключается подведение под знак дифференциала.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Выделим нужную структуру .

Замена . Заготовка .

После подстановки в искомый интеграл получаем:

.

Ответ. .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Единственный табличный интеграл, содержащий показательную функцию, это интеграл . Чтобы прийти к нему, сделаем замену . Вычислим . Подставим в искомый интеграл:

.

Ответ.

 

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Имеем табличный интеграл . В искомом интеграле обозначим . Подготовим . После подстановки в искомый интеграл получим

.

Ответ. .

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Будем ориентироваться на табличный интеграл:

.

В нем аргумент синуса и переменная интегрирования должны быть абсолютно одинаковыми. В искомом интеграле изменить аргумент синуса мы не можем. Значит, надо сделать так, чтобы переменной интегрирования стал . Выясним, что мы должны иметь, чтобы написать : . В искомом интеграле умножим числитель и знаменатель на 2 и выполним цепочку преобразований:

Ответ. .

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. В таблице имеем интеграл . Попытаемся искомый интеграл свести к данному табличному. Не будем изменять знаменатель. Сделаем замену переменной, обозначив . Вычислим формулу, выражающую дифференциал новой переменной t через дифференциал старой переменной х: . Тогда . Подставим все заготовки в искомый интеграл.

Ответ. .

 

Проанализируем полученный результат. Первообразная осталась та же, что и в табличном интеграле – натуральный логарифм модуля. Логарифмируемое выражение совпало со знаменателем в искомом интеграле. Перед первообразной функцией добавился сомножитель, обратный коэффициенту при х.

 

Все это является проявлением общего правила, полученного на основе замены переменной.

Пусть известно, что (как правило, из таблицы интегралов). Тогда .

Из него, в частности, следует расширение таблицы интегралов:

 

1. , если .	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

 

 

Применение этого правила можно видеть на следующих примерах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

 

Интегрирование по частям

Ранее уже упоминалось, что нет единого правила интегрирования произведения функций. Однако есть метод, который позволяет проинтегрировать некоторые виды произведений. Это метод интегрирования по частям. Его формула имеет вид

.

Ещё раз подчеркнем, что изначально все интегралы даны в виде . Структуру для интегрирования по частям вы должны построить сами.

При интегрировании по частям нужно выполнить следующие действия:

1) часть подынтегральной функции обозначить как новую функцию и приготовить заготовку ;

2) то, что осталось от подынтегрального выражения, обозначить как дифференциал второй функции (которая, вообще-то, изначально неизвестна) и найти эту функцию по формуле

.

Методические указания:

1. В заготовках при вычислении функции в неопределенном интеграле берем константу .

2. Если подынтегральная функция является произведением многочлена на тригонометрическую функцию или многочлена на показательную функцию, то выгодно взять за функцию именно многочлен, т.к. он при дифференцировании упрощается. Тригонометрические и показательные функции не упростятся, сколько бы их ни дифференцировали или интегрировали.

3. Если подынтегральная функция содержит какую-то одну из обратных тригонометрических функций или логарифмическую функцию , то выгодно именно их выбрать в качестве функции , т.к. известно, как их дифференцировать.

 

Пример 10. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 11. Найти интеграл .

Решение.

.

 

 

§2. Определенный интеграл

 

Понятие определенного интеграла возникло задолго до появления понятий производной, первообразной и неопределенного интеграла. Схема введения этого понятия достаточно проста.

Есть функция . Она определена и непрерывна на отрезке .

1. Этот отрезок произвольным образом разбивается на интервалов .

2. На каждом таком интервале произвольно выбирается точка . В ней вычисляется значение функции .

3. Затем строится интегральная сумма .

4. Далее разбиение отрезка равномерно измельчают, при этом количество интервалов возрастает, т.е. .

5. Последовательность разбиений порождает последовательность интегральных сумм . Если эта последовательность стремится к конечному пределу, то он и называется определенным интегралом. Символически это записывается так

.

Вычисление определенного интеграла по определению, т.е. как предел интегральных сумм, задача очень сложная. К счастью, гениальные математики прошлого И.Ньютон и Г.Лейбниц установили связь определенного интеграла с первообразной для функции . Созданная ими формула известна всему образованному человечеству как формула Ньютона-Лейбница. Она имеет вид

.

Из формулы видно, что достаточно найти какую-то одну первообразную функцию для функции . Тогда её приращение и будет равно определенному интегралу.

Функции двух переменных

 

Задания для контрольной работы №2

ЧАСТЬ 1 (задачи 1-5)

Задача 1. Найти неопределенные и определенный интегралы.

 

1.1	а)	б)
в)	г)
1.2	а)	б)
в)	г)
1.3	а)	б) ;
в)	г)
1.4	а)	б)
в)	г)
1.5	а)	б)
в)	г)
1.6	а)	б)
в)	г)
1.7	а)	б)
в) ;	г)
1.8	а)	б)
в)	г)
1.9	а)	б)
в)	г)
1.10	а)	б)
в)	г)

 

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций.

 

2.1		2.6
2.2		2.7
2.3		2.8
2.4		2.9
2.5		2.10

 

Задача 3. Решить дифференциальные уравнения 1-го порядка.

 

3.1	а)	б) ; ;
3.2	а) ;	б) ;
3.3	а) ;	б) ;
3.4	а) ;	б) ;
3.5	а) ;	б) ;
3.6	а) ;	б) ;
3.7	а) ;	б) ;
3.8	а) ;	б) ;
3.9	а) ;	б) ;
3.10	а) ;	б) ;

 

Задача 4. Решить дифференциальные уравнения 2-го и 3-го порядков.

а) Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

б) Найти общее решение дифференциального уравнения.

в) Найти общее решение дифференциального уравнения.

 

4.1	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.2	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.3	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.4	а) ; ; ;
	б)	в)
4.5	а) , , , ,
	б)	в)
4.6	а) ; ; ;
	б)	в)
4.7	а) ; ; ;
		в)
4.8	а) , , , ,
	б)	в)
4.9	а) , , , ,
		в)
4.10	а) ; , , , .
	б)	в)

Задача 5. Исследовать на экстремум функцию.

 

5.1		5.6
5.2		5.7
5.3		5.8
5.4		5.9
5.5		5.10

 

 

Задания для контрольной работы №2

ЧАСТЬ 2 (задачи 7-10)

 

Список литературы

1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов: [в 2 т.]. Т. 2 / Н. С. Пискунов. - Изд. стер. - Москва: Интеграл-Пресс, 2009. - 544 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев. – 6-е изд., стер. – Москва: Высш. шк., 2003. – 479 с.

3. Рябушко А. П. Индивидуальные задания по высшей математике: учебное пособие для техн. специальностей вузов: в 4 ч. Ч. 4. Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика: учеб. пособие / А. П. Рябушко. - 2-е изд., испр. - Минск: Вышэйшая школа, 2007. - 336 с.

4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для экон. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 400 с.

5. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П., Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск: Выш. шк., 1969. – 454 с.

6. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. – 512 с.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

8. Солодовников А.С. Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1978.

9. Виленкин Н.Я. Индукция, Комбинаторика – М.: Просвещение, 1976.

10. Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики – М.: Просвещение, 1979.

Содержание

 

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ...2

Введение……………………………………………………………...........……….…...3

§1. Неопределенный интеграл…………………..……..............................…………...3

1.1 Понятие неопределенного интеграла……………………………........…….3

1.2 Таблица основных неопределенных интегралов…………………..............4

1.3 Интегрирование с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции...................................................................................................5

1.4 Замена переменной (или подведение под знак дифференциала)...........7

1.5 Интегрирование по частям..................................................................... 11

§2. Определенный интеграл................................................................................. 12

2.1 Методы вычисления определенного интеграла..................................... 13

2.2 Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла 15

§3. Дифференциальные уравнения 1 – го порядка............................................ 16

3.1. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.......... 17

3.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными..........19

3.3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка...................…....21

§4. Дифференциальные уравнения 2– го и 3– го порядков…………………....….24

4.1. Дифференциального уравнения 2 – го и 3 – го порядков, допускающие понижение порядка…………