Экстремумы функции двух переменных

Сведения из теории

Напомним, что экстремумы бывают двух типов - максимумы и минимумы. Экстремумы характеризуют функцию локально, только в окрестности некоторой точки. Это вытекает из самого определения экстремума.

Определение. Говорят, что функция двух переменных имеет максимум (минимум) в точке , если существует окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется неравенство (соответственно для минимума ).

Доказано, что функция может принимать максимум или минимум только в тех точках, в которых и или эти частные производные не существуют. Известно также, что условие еще не гарантирует наличие экстремума в точке . Для этого еще должны выполняться так называемые достаточные условия экстремума. Они формулируются в виде теоремы.

Теорема (достаточные условия экстремума)

Пусть в точке частные производные или эти частные производные не существуют. Вычислим для этой точки три числа: . По ним вычислим выражение . Тогда:

1) если , то экстремум есть, при этом, если число , то минимум, а если , то максимум;

2) если , то экстремума нет;

3) если , для исследования функции на экстремум нужны дополнительные исследования с использованием частных производных более высокого порядка.

Пример 30. Исследовать на экстремумы функцию .

Решение.

Прежде всего, найдем точки, в которыхчастные производные и равны нулю: . Система имеет два решения и .

Далее найдем формулы частных производных 2-го порядка.

.

Сначала исследуем достаточные условия для точки .

.

Вычислим , следовательно, в точке экстремума нет.

Теперь исследуем достаточные условия для точки .

.

Вычислим , следовательно, в точке экстремум есть. Так как , то минимум. Вычислим его

.

Ответ. .

 

Задания для контрольной работы №2

ЧАСТЬ 1 (задачи 1-5)

Задача 1. Найти неопределенные и определенный интегралы.

 

1.1	а)	б)
в)	г)
1.2	а)	б)
в)	г)
1.3	а)	б) ;
в)	г)
1.4	а)	б)
в)	г)
1.5	а)	б)
в)	г)
1.6	а)	б)
в)	г)
1.7	а)	б)
в) ;	г)
1.8	а)	б)
в)	г)
1.9	а)	б)
в)	г)
1.10	а)	б)
в)	г)

 

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций.

 

2.1		2.6
2.2		2.7
2.3		2.8
2.4		2.9
2.5		2.10

 

Задача 3. Решить дифференциальные уравнения 1-го порядка.

 

3.1	а)	б) ; ;
3.2	а) ;	б) ;
3.3	а) ;	б) ;
3.4	а) ;	б) ;
3.5	а) ;	б) ;
3.6	а) ;	б) ;
3.7	а) ;	б) ;
3.8	а) ;	б) ;
3.9	а) ;	б) ;
3.10	а) ;	б) ;

 

Задача 4. Решить дифференциальные уравнения 2-го и 3-го порядков.

а) Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

б) Найти общее решение дифференциального уравнения.

в) Найти общее решение дифференциального уравнения.

 

4.1	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.2	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.3	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.4	а) ; ; ;
	б)	в)
4.5	а) , , , ,
	б)	в)
4.6	а) ; ; ;
	б)	в)
4.7	а) ; ; ;
		в)
4.8	а) , , , ,
	б)	в)
4.9	а) , , , ,
		в)
4.10	а) ; , , , .
	б)	в)

Задача 5. Исследовать на экстремум функцию.

 

5.1		5.6
5.2		5.7
5.3		5.8
5.4		5.9
5.5		5.10

 

 

Задания для контрольной работы №2

ЧАСТЬ 2 (задачи 7-10)

 

Задача 7. Решить задачи, используя правила и формулы комбинаторики.

 

7.1 В автомашине 5 мест. Сколькими способами 5 человек могут разместиться в этой машине, если водительское место могут занять трое из них?

7.2 В комнате имеется 6 лампочек, каждая со своим выключателем. Сколькими способами можно освещать комнату?

7.3 Сколько сигналов можно поднять, имея 4 флага разных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее, чем из двух флагов?

7.4 Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры в записи могут повторяться?

7.5 Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три числа так, чтобы их сумма была чётной?

7.6 Учащемуся необходимо сдать 4 экза­мена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

7.7 В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

7.8 В депо три локомотива и 7 вагонов. Сколько всего вариантов поезда из 1 локомотива и 5 вагонов можно составить, если локомотив может находиться как в начале, так и в конце поезда?

7.9 На собрании присутствуют 120 человек. Сколькими спо­собами может быть избран президиум собрания в составе пред­седателя, секретаря и семи других членов президиума?

7.10 Бригада состоит из 7 мужчин и 5 женщин. Сколькими способами эта бригада может избрать делегацию в составе пя­ти человек, среди которых: а) две женщины; б) не более двух женщин?