Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интегралеСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Самым простым методом вычисления неопределенных интегралов был так называемый метод непосредственного интегрирования, сводящийся к преобразованию подынтегрального выражения к сумме-разности элементарных функций из таблицы интегралов с некоторыми числовыми коэффициентами. Если же это не удавалось, то предлагались два специальных приема – замена переменной и интегрирование по частям. Ситуация с вычислением определенных интегралов в точности та же самая. Имеется практически точно такой же метод непосредственного интегрирования определенных интегралов, который от того же метода для неопределенных интегралов отличается лишь на последнем этапе − тем, что после сведения задачи к интегрированию «табличных» функций при их последующем интегрировании мы после выписывания соответствующей первообразной не приписываем дальше «+ С» (как при вычислении неопределенного интеграла), а, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница, вместо этого ставим вертикальную черту с пределами интегрирования и считаем соответствующую разность значений первообразной. Примеры вычисления определенных интегралов методом непосредственного интегрирования приведены в предыдущих параграфах. Если же этот метод неприменим, снова используются методы замены переменной и интегрирования по частям, которые тоже очень похожи на эти же методы для неопределенного интеграла с небольшими изменениями. Такими же остаются и рекомендации по конкретным типам замены в зависимости от вида подынтегральной функции, а также по классам функций, при интегрировании которых применяется интегрирование по частям. Формулы, описывающие эти методы для случаев неопределенного и определенного интегралов, также очень похожи. Однако имеется некоторая их специфика для определенного интеграла, которая будет отмечена ниже. Начнем с формулы замены переменной, формальное изложение которой выглядит достаточно громоздко. Теорема. Пусть . Доказательство теоремы несложно, проводится с помощью формулы Правила для пересчетов пределов интегрирования следующие. 1. Если при замене переменной старая переменная выражена через новую в форме , то новый нижний предел α для новой переменной находится из условия , а новый верхний предел β из условия . 2. Если при замене переменной новая переменная выражена через старую в форме , то , а . Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, − те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся. Итак, два основных отличия от замены переменных в неопределенном интеграле состоят в том, что в ответе теперь не нужен возврат к старой переменной, зато добавляется работа по пересчету пределов интегрирования α и β для новой переменной. Пример 1. Вычислить . Решение. В предыдущей главе (посвященной неопределенным интегралам) в конце параграфа «Интегрирование некоторых иррациональных выражений» при интегрировании выражений, содержащих , предлагалась замена переменной вида . Такого же вида замену сделаем и сейчас, не забывая пересчитать пределы интегрирования α и β для новой переменной по приведенному выше правилу 1. = {применим формулу понижения степени } = . Итак, . Пример 2. Вычислить . Решение. Для неопределенных интегралов, содержащих переменную интегрирования только под знаком экспоненты , рекомендовалась замена переменной по формуле . Поэтому в данном примере надо бы сдеать замену переменной по формуле . Однако в данном случае решение будет короче, если сделать замену (так как именно такое выражение стоит под знаком корня в интеграле). Пересчет пределов интегрирования α и β для новой переменной выполняем по правилу 2. . Итак, . Рассмотрим теперь метод интегрирования по частям в определенном интеграле. По форме он почти не отличается от аналогичного метода для неопределенных интегралов. Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a,b ]. Тогда справедлива следующая формула интегрирования по частям: (1) . Напомним формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла, приведенную в параграфе «Интегрирование по частям» предыдущей главы: (2) . Видно, что отличия в формуле (1) от формулы (2) лишь в том, что интегралы справа и слева становятся определенными, а выражение заменяется на , что, как обычно, означает разность значений при и выражения слева от вертикальной черты. В том же параграфе предыдущей главы были приведены типы интегралов, для вычисления которых следует применять метод интегрирования по частям, а так же рекомендации, что при этом брать за , а что за . Все эти рекомендации справедливы и при вычислении определенных интегралов: 1. 2. 3. 4. Пример 3. Вычислить . Решение. Это второй из перечисленных выше типов интеграла, поэтому применяем формулу интегрирования по частям (1), беря в соответствии с рекомендацией за , а за : . Итак, . Пример 4. Вычислить . Решение. Это интеграл первого из перечисленных выше типов при и , поэтому при применении формулы (1) делаем рекомендуемый выбор функций и : { учтем, что } . Таким образом, . Пример 5. Вычислить . Решение. Представим интеграл в виде: . Теперь видно, что это интеграл третьего типа при (так как ), и . Применяем формулу (1):
{учтем, что , а } . Итак, .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 742; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.151.211 (0.007 с.) |