Некоторые приложения определенного интеграла

 

Определенный интеграл имеет разнообразнейшие применения практически во всех областях знания. Мы уже отмечали приложения, связанные с вычислением площадей произвольных фигур с криволинейными границами. Кроме того, с помощью определенного интеграла можно вычислять длины различных кривых, объемы тел с известными площадями параллельных сечений, объемы так называемых тел вращения и площади их поверхности. Многообразны применения и в физике. К ним можно отнести вычисление длины пути по заданному закону изменения скорости, вычисление работы переменной силы на прямолинейном участке движения, вычисление статических моментов и координат центра тяжести нагруженной кривой или плоской фигуры с постоянной плотностью, определение массы неоднородного тонкого стержня по известной его меняющейся плотности, вычисление давления жидкости на вертикальную пластинку, полного заряда стержня по его (заряда) переменной плотности и так далее. К соответствующим экономическим задачам относятся задачи нахождения функций издержек, прибыли и потребления по известным соответствующим предельным функциям, нахождение объема выпуска продукции по изменяющейся производительности труда и так далее.

Остановимся подробнее на определении объема тел вращения. Пусть имеется график некоторой функции на отрезке [ a,b ], лежащий над осью . Рассмотрим снова криволинейную трапецию, основанием которой является отрезок [ a,b ], боковыми сторонами являются отрезки вертикальных прямых, проходящих через точки (числа) a и b на оси , а верхним основанием служит график этой функции. Площадь такой трапеции, как известно из изложенного выше, выражается интегралом , но сейчас нас площадь не интересует. Если эту криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то получится объемная фигура, которая называется телом вращения (см. рисунок). Тогда объем тела вращения можно вычислить с помощью определенного интеграла по следующей формуле:

(1) .

К телам вращения (из проходимых ранее в школе) относятся шары, конусы и цилиндры. Поэтому известные формулы для их объема могут быть получены из приведенной формулы (1).

Пример 1. Вывести известную из школьной программы формулу для объема прямого кругового конуса высоты и радиуса основания .

Решение. Для того, чтобы воспользоваться формулой (1), представим упомянутый конус высоты и радиуса основания как тело, полученное вращением вокруг оси прямоугольного треугольника , изображенного на рисунке. В этом треугольнике длина катета равна высоте конуса (поэтому точке на оси соответствует число ), а длина катета равна радиусу основания конуса. Теперь понятно, что в формуле (1) в качестве пределов интегрирования нужно взять и . Осталось понять, какое выражение подставлять в (1) вместо . В формуле (1) есть выражение для функции, часть графика которой, расположенная над отрезком [ a,b ], образует верхнее основание вращаемой криволинейной трапеции. Поэтому в нашем примере есть выражение для функции, график которой над интервалом [ 0,h ] на оси есть отрезок прямой . Как известно, все наклонные прямые имеют уравнение вида . Найдем числа и для прямой . Поскольку прямая проходит через начало координат , то , а потому уравнение прямой имеет вид . Число есть угловой коэффициент прямой и равен тангенсу угла наклона прямой к оси . Этот тангенс найдем из прямоугольного треугольника как отношение длины катета, противолежащего этому углу, к длине прилежащего катета. Поэтому . Итак, уравнение прямой : , а потому в нашем примере в качестве в формуле (1) должно быть взято . Таким образом, искомый объем конуса выражается определенным интегралом . Вычислим его, учитывая что высота и радиус основания конуса являются постоянными числами (своими для каждого конкретного конуса):

Что и требовалось получить.

Пример 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси х фигуры, ограниченной графиками функций и (см. рисунок).

Решение. В этом примере вращается не криволинейная трапеция, а более сложная фигура, поэтому напрямую формула (1) неприменима. Однако понятно, что исследуемое тело вращения может быть получено удалением из тела, образованного вращением криволинейной трапеции с верхним основанием – графиком , тела, образованного вращением криволинейной трапеции с верхним основанием – графиком . Поэтому объем искомого тела , где и есть объемы описанных выше тел вращения. Второе тело вращения (полученное вращением прямоугольного треугольника) есть, очевидно, прямой круговой конус с высотой и радиусом основания (см. рисунок). Поэтому его объем можно искать не по интегральной формуле (1), а по формуле, полученной в предыдущем примере: . Объем первой фигуры вращения вычисляем с помощью интеграла по формуле (1): . Таким образом, искомый объем кубических единиц.

Рассмотрим применение определенного интеграла к вычислению длины дуги кривой. Пусть дуга некоторой кривой является частью графика непрерывной функции при изменении на отрезке (см. рисунок). Числа и являются абсциссами (т.е. х -координатами) начальной и конечной точки дуги . В этом случае длина дуги вычисляется по формуле:

(2) .

Приведем пример использования формулы (2).

Пример 3. Вычислить длину части графика функции (так называемая полукубическая парабола), если .

Решение. Применим формулу (2) с соответствующими этому примеру параметрами: , , . Для удобства преобразуем выражение для функции: . Тогда . По формуле (2) длина кривой {вносим под знак дифференциала, добавляя перед интегралом поправочный множитель } . Итак, .

Рассмотрим теперь применение определенного интеграла к вычислению работы переменной силы. Из школьного курса физики известно, что если материальная точка переместилась прямолинейно из точки в точку на расстояние , а сила , действующая на нее, направлена по прямой в сторону движения точки и имеет постоянную величину , то работа этой силы на указанном участке движения . Теперь допустим, что эта сила не постоянна по величине (направлена как и прежде), т.е. в разных точках траектории она имеет разные значения. Как вычислить работу такой переменной силы? Проведем через точки и числовую ось , пусть эти точки соответствуют числам и на этой оси (см. рисунок). В каждой точке траектории от к на точку действует сила переменной величины , зависящей от положения точки, т.е. от координаты этой точки. Тогда работа этой силы на указанном пути от к вычисляется с помощью интеграла:

(3) .

Пример 4. В точке О начало координат числовой оси х закреплен положительный заряд величиной . Свободный положительный заряд величины под действием кулоновской силы отталкивания от закрепленного заряда переместился вдоль оси х от точки с координатой () в точку с координатой (см. рисунок). Найти работу силы Кулона на этом перемещении.

Решение. По закону Кулона сила, действующая на подвижный заряд со стороны неподвижного заряда вычисляется по формуле , где − расстояние между зарядами величины и , , а Ф/м − так называемая электрическая постоянная. Поскольку текущая координата подвижного заряда и определяет расстояние между зарядами, то переменная сила Кулона, действующая на заряд , будет иметь вид . Поэтому по формуле (3) работа этой силы равна:

.

Итак, искомая работа .

 

Несобственные интегралы

 

При изучении определенного интеграла мы рассматривали только непрерывные на отрезке [ a,b ] функции, причем отрезок [ a,b ] был конечной длины (т.е. a≠−∞, b≠+∞). Непрерывные функции мы рассматривали по той причине, что, как писалось выше, для таких функций (хотя и не только для таких, но для таких − точно) существуют первообразные, а потому и неопределенный и определенный интеграл. Попробуем отойти от этих ограничений для подынтегральной функции в определенном интеграле.

Пусть подынтегральная функция имеет на отрезке [ a,b ] конечное число точек разрыва 1 рода (скачки). На рисунке в качестве примера изображен график функции , имеющей одну точку разрыва 1 рода . Для определения понятия определенного интеграла от такой функции по отрезку используем последнее свойство определенных интегралов от непрерывных функций: если отрезок интегрирования разбит на 2 части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по составляющим этот отрезок частям. Определим теперь интеграл от разрывной (в точке ) функции по отрезку следующим образом:

(1) .

На каждом из отрезков и подынтегральная функция непрерывна (если доопределить ее на концах отрезка соответствующими предельными значениями), а потому определенные интегралы в правой части формулы (1) по этим отрезкам существуют. В формуле (1) правая часть служит определением левой части. В случае нескольких точек разрыва 1 рода интеграл определяется аналогично как сумма интегралов по отрезкам непрерывности функции.

Пример 1. Вычислить от функции , заданной двумя формулами (на разных участках изменения аргумента ): .

Решение. График этой функции (на рисунке) «склеен» из кусков графиков функций и над соответствующими интервалами оси . На интервале интегрирования имеется одна точка разрыва 1 рода . Поэтому по определению (1):

= { на каждом из интервалов интегрирования и имеется свое выражение для функции, которое и подставляем в соответствующий интеграл } = Таким образом, .

Если же подынтегральная функция имеет на отрезке [ a,b ] точки разрыва 2-го рода (бесконечные скачки), то в обычном смысле определенный интеграл по этому отрезку уже не существует. Однако для некоторых из них все же можно ввести разумное понятие определенного интеграла, который будет называться несобственным интегралом 2 рода.

Если же подынтегральная функция непрерывна, но неограничен сам отрезок интегрирования (т.е.. a=−∞ и/или b=+∞), то интеграл в обычном смысле тоже не определен. Но опять же можно ввести для некоторых функций разумное понятие определенного интеграла и по бесконечному промежутку, который будет называться несобственным интегралом 1 рода. Остановимся на этом интеграле подробнее. Пусть функция непрерывна на бесконечном интервале [ a,+∞). Можно ли разумно ввести понятие определенного интеграла по этому интервалу ? По геометрическому смыслу определенного интеграла (площадь соответствующей криволинейной трапеции) интеграл такого типа должен иметь смысл площади неограниченной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. Но может ли площадь неограниченной фигуры быть конечным числом, а не бесконечностью? Иногда да, а иногда нет. Как же можно определить площадь неограниченной фигуры, изображенной на рисунке? Можно поступить, например, так. Возьмем некоторое число b > a и обрежем эту фигуру вертикальной прямой, проходящей через число b на оси х. Площадь оставшейся слева фигуры (уже ограниченной) есть какое-то конечное число (которое, по геометрическому смыслу интеграла, можно вычислить как ). Будем теперь безгранично отодвигать вправо построенную правую вертикальную границу фигуры (что соответствует предельному переходу b→+∞). Может при этом возникнуть две ситуации. Либо площади фигур при таком процессе не приближаются ни к какому числу (или неограниченно растут до бесконечности). Либо эти площади неограниченно приближаются к некоторому числу (обозначим его S), т.е. существует конечный предел . Тогда естественно это число S считать площадью исходной неограниченной криволинейной трапеции и значением интеграла . Перейдем к точным определениям.

Выражение вида называется несобственным интегралом (1-го рода). Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, а число S называется его значением. Таким образом, можно по определению записать

(2) = .

Если же такой предел в правой части (2) не существует (или он равен бесконечности), то несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакое числовое значение.

Таким образом, для вычисления несобственного интеграла (1-го рода) используется следующая схема:

1) верхний предел +∞ заменить буквой b и вычислить получившийся интеграл (в ответ, конечно, будет входить буква b);

2) в ответе перейти к пределу при b→+∞.

Если предел существует, то интеграл сходится, а его значение равно значению получившегося предела. Если предел не существует, то интеграл расходится.

Пример 2. Выяснить, при каких значениях параметра несобственный интеграл сходится, а при каких расходится.

Решение. По изложенной выше схеме вычисляем для произвольного значения положительного параметра , а затем в полученном выражении переходим к пределу при b→+∞. Поскольку неопределенный интеграл от функции имеет разный вид для и , то придется рассмотреть отдельно два этих случая.

1) Пусть . Тогда . Поскольку , то, по введенному выше определению, при расходится.

2) Пусть . Тогда . Теперь надо в этом выражении перейти к пределу при b→+∞: {поскольку от зависит только числитель в первом пределе}= . Поэтому при :

(3) .

Для вычисления в (3) придется опять различать 2 случая: и .

а) Пусть . Тогда . Поскольку , то , поэтому , а потому . Поэтому при предел в (3) существует: . Следовательно, при интеграл сходится, причем его значение .

б) Пусть . Тогда в (3) , поскольку показатель степени . Поэтому при предел в (3) равен бесконечности: . Следовательно, при интеграл расходится.

Таким образом, расходится при , а при он сходится: .

Точно так же с аналогичными определениями сходимости-расходимости вводится несобственный интеграл (1 рода), у которого верхний предел конечен, а нижний предел равен −∞:

(4) = .

Определим теперь несобственный интеграл от непрерывной функции по всей числовой прямой (−∞,+∞). Поскольку вводимые несобственные интегралы должны по свойствам походить на обычные, то желательно, чтобы выполнялось свойство: , которое можно взять в качестве определения несобственного интеграла . Если сходятся оба несобственных интеграла и , то несобственный интеграл называется сходящимся, а его значение принимается равным сумме интегралов:

(5) .

Если же хотя бы один из интегралов или расходится, то интеграл называется расходящимся.

Пример 3. Сходится ли интеграл ?

Решение. По определению (4) нужно выяснить, существует ли конечный предел . Вычислим интеграл под знаком предела, учитывая, что : . Тогда . Поэтому расходится.

Пример 4. Вычислить .

Решение. По формуле (4):

={ с учетом, что } . Таким образом, интеграл сходится и .

Пример 5. Вычислить .

Решение. По формуле (5):
(6) ,

причем, если хотя бы один из несобственных интегралов в правой части расходится, то и сам интеграл считается расходящимся. Вычислим отдельно каждый из упомянутых интегралов: . Вычисляем интеграл под знаком предела: ={ на интервале интегрирования переменная интегрирования , а потому можно заменить на }= {используем формулу при и } . Поэтому (использовали, что , так как при стремлении показателя степени к минус бесконечности экспонента стремится к нулю). Вычисляем первый интеграл в правой части (6): . Имеем: ={ на интервале интегрирования переменная интегрирования , а потому можно заменить на }= . Поэтому . Таким образом, исходный интеграл сходится, а согласно (6): .