Уравнение с разделенными переменными

 

Далеко не для всякого дифференциального уравнения первого порядка разработан алгоритм получения его общего решения. Однако для многих типов уравнений такие алгоритмы есть, и мы на некоторых из них в этом пособии остановимся. Прежде всего, это так называемые уравнения с разделенными переменными. Это такое уравнение в дифференциалах , у которого функция при на самом деле зависит только от , функция при зависит только от . Таким образом, уравнением с разделенными переменными называется уравнение в дифференциальной форме вида

(1) .

Иногда удобнее такое уравнение с разделенными переменными записывать в форме

(2) .

Очевидно, что уравнение вида (1) легко приводится к уравнению вида (2)
(перенесением слагаемого с в правую часть) и наоборот. Поэтому уравнение вида (2) тоже будем называть уравнением с разделенными переменными.

Если формально «навесить» значки неопределенного интеграла перед правой и левой частью уравнения (2), то получим

(3) .

Допустим, нам удалось вычислить эти интегралы: , . Если теперь формально подставить в (3) вместо интегралов полученные выражения для них, но в интеграле слева «+ С» не писать, то получим

(4) .

Можно доказать, что описанные формальные действия с уравнением (2) действительно приводят к получению его общего интеграла, которым и является выражение (4). Обосновывает это следующая

Теорема. Функциональные уравнения (2) и (4) эквивалентны.

Утверждение теоремы следует понимать в том смысле, что любое решение дифференциального уравнения (2) (как вида , так и ) является также решением функционального уравнения (4). И наоборот.

Доказательство этой теоремы несложное. Докажем, например, что если функция является решением функционального уравнения (4), то она является и решением уравнения (2). Поскольку (по предположению) есть решение уравнения (4), то верно тождество: . Вычислим производные от правой и левой части этого тождества (вспоминая формулу производной от сложной функции при дифференцировании левой части): или (производная от хотя и произвольной, но все же постоянной равна 0)

(*) .

Поскольку и , то и являются первообразными для и соответственно, т.е. , . Тогда из (*) получим тождество . Умножим обе части на произвольное число (играющего роль дифференциала независимой переменной ): . Учитывая, что по определению , получаем, что для всех и выполнено тождество , что означает, что функция есть решение уравнения (2), что и требовалось показать. По аналогичной схеме проводится доказательство обратного утверждения, что если функция (или ) является решением уравнения (2), то она является решением и уравнения (4).

Таким образом, для получения общего интеграла уравнения с разделенными переменными вида (2) можно использовать следующую схему.

1. Формально «навесить» значок неопределенного интеграла на левую и правую часть уравнения (2).

2. Вычислить и приравнять полученные интегралы, но при этом «+С» оставить только при вычислении интеграла по переменной (получим выражение вида (4) − общий интеграл уравнения (2)).

3. Если в полученном выражении удастся переменную выразить через и , то получим общее решение уравнения (2).

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это уравнение с разделенными переменными вида (1), но оно легко сводится к уравнению вида (2): . Согласно изложенной выше схеме, «навешиваем» на обе части неопределенные интегралы и вычисляем их:

, . Получили общий интеграл уравнения (т.е. выражение, связывающее , и ). Выразим для получения общего решения: , . В этом выражении − произвольная постоянная, меняющаяся от до . При этом, очевидно, тоже будет меняться от до . Поэтому в ответе для упрощения записи в общем решении вместо можно снова записать . Таким образом, общее решение уравнения имеет вид .