Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Это уравнения вида

(1) ,

где , и − непрерывные на некотором интервале функции. Эти уравнения занимают видное место среди уравнений 2-го порядка, поскольку, с одной стороны, ими описываются многочисленные реальные процессы и явления практически во всех областях деятельности, а, с другой стороны, точно изучена структура решений таких уравнений, а также известен алгоритм получения этих решений для многих типов таких уравнений. Предполагаемая непрерывность функций , и на некотором интервале обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (1) (см. задачу (4) в параграфе «Дифференциальные уравнения второго порядка») для любых чисел , и .

Если правая часть уравнения (1) , то это уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением, а иначе неоднородным линейным дифференциальным уравнением.

Рассмотрим сначала структуру общего решения однородного уравнения

(2) .

Оказывается, чтобы найти все решения такого уравнения, достаточно найти только любые два его решения с тем единственным условием, чтобы эти решения были линейно независимы. Познакомимся с этим понятием.

Назовем две функции и линейно зависимыми на некотором интервале , если для всех значения одной из них получаются из значений другой умножением на одно и то же число:

(3)

для всех , где − некоторое число. В противном случае функции и называются линейно независимыми на интервале . Например, линейно зависимыми на любом интервале являются, очевидно, функции и , также функции и , если вспомнить, что . Приведем важные для дальнейшего изложения примеры линейно независимых функций.

Пример 1. Доказать, что функции и линейно независимы при на любом интервале.

Решение. Докажем методом «от противного». Предположим, что на некотором интервале функции и линейно зависимы при . Тогда из (3) следует, что найдется такое число , что , т.е. . По правилу деления степеней с одинаковым основанием получаем, что или . Поскольку (иначе, при , действительно − число!), то экспонента при ненулевом показателе степени не может быть равна одному и тому же числу при всех из некоторого интервала. Полученное противоречие и доказывает независимость функций и на любом интервале.

Пример 2. Доказать, что функции и линейно независимы при любом числе на любом интервале.

Решение. Предположив, что на некотором интервале функции и линейно зависимы, получим из (3), что , т.е. (поделив обе части на ) . Но функция не является постоянной ни на каком интервале – противоречие.

Пример 3. Доказать, что функции и линейно независимы при любом числе и любом числе на любом интервале.

Решение. Предположив, что на некотором интервале эти функции линейно зависимы, получим из (3), что , т.е. (поделив на ) . Но функция не является при постоянной ни на каком интервале – противоречие.

Назовем пару функций и фундаментальной системой решений однородного уравнения (2), если они являются решениями этого уравнения на некотором интервале и линейно независимы на нем. Оказывается, что с помощью такой пары решений уравнения (2) строятся все решения этого уравнения. А именно, справедлива

Теорема 1. Пусть и − какая-либо фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (2). Тогда общее решение этого уравнения имеет вид:

(4) ,

где и − произвольные постоянные.

Доказательство. Согласно определению общего решения уравнения 2-го порядка (см. параграф «Дифференциальные уравнения 2-го порядка» после формулы (3)), для доказательства того, что выражение (4) является таковым для уравнения (2), необходимо показать два факта:

1) Выражение (4) зависит от двух (это существенно! – см. замечание 2 ниже) произвольных постоянных и .

2) При любых числовых значениях и выражение (4) дает решение уравнения (2).

Первый факт, очевидно, сразу следует из вида выражения (4). Перед доказательством второго факта отметим, что, поскольку и являются по условию решениями уравнения (2), то при подстановке в него дают верное тождество, т.е. выполняется:

(5) и .

А теперь проверим второй упомянутый выше факт. Пусть и − произвольные числа, докажем, что тогда (4) является решением уравнения (2). Для этого подставим функцию (4) в левую часть уравнения (2), преобразуем полученное выражение и убедимся, что действительно получим ноль, стоящий в правой части этого уравнения:
{соберем слагаемые, содержащие , затем слагаемые, содержащие , и вынесем эти произвольные постоянные за скобки}= {учитывая (5)} , что и требовалось показать.

Таким образом, справедливо следующее

Правило 1. Для нахождения общего решения однородного уравнения (2) достаточно найти любые два его линейно независимых решения и и выписать формулу (4).

Замечание 1. Можно показать, что общее решение (4) уравнения (2) содержит все решения этого уравнения. Это означает, что любое решение уравнения (2) имеет вид (4) с некоторыми конкретными числовыми значениями произвольных постоянных и .

Замечание 2. Отметим существенность линейной независимости решений и уравнения (2) для того, чтобы выражение (4) являлось общим решением этого уравнения (линейная независимость – одно из условий фундаментальности этих решений). Допустим, что решения и уравнения (2) линейно зависимы, т.е., согласно (3), . Подставляя это в (4), получим: , т.е. . Поскольку , и являются постоянными, то выражение тоже будет постоянным (числом). Обозначив это число буквой , получим, что выражение (4) приобретает вид , а потому не может из себя представлять общее решение уравнения второго порядка, так как фактически содержит не две, а только одну произвольную постоянную .

Теперь перейдем к изучению структуры общего решения неоднородного уравнения (1): . Поставим ему в соответствие однородное уравнение, заменив правую часть нулем − получим однородное уравнение вида (2): . Оказывается, чтобы найти все решения неоднородного уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения (по выписанному выше Правилу 1) и какое-нибудь одно (только!) решение самого неоднородного уравнения (оно называется частным решением неоднородного уравнения).

Теорема 2. Общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (2) и какого-либо частного решения самого неоднородного уравнения (1). Учитывая, что общее решение однородного уравнения (2) имеет (как доказано в теореме 1) вид (4), можно утверждать, что общее решение неоднородного уравнения (1) имеет вид:

(6) ,

где и − какие-либо два линейно независимых решения однородного уравнения (2), − какое-либо решение самого уравнения (1) (т.е. его частное решение), и − произвольные постоянные.

Доказательство. Требуется доказать, что формула (6) дает общее решение уравнения (1). Поскольку очевидно, что выражение (6) содержит две произвольные постоянные, то осталось показать, что при любых числовых значениях и выражение (6) дает решение уравнения (1). Зафиксируем произвольно значения постоянных и . Обозначим функцию:

(7) .

Учитывая вид общего решения (4) однородного уравнения (2), можно утверждать, что является решением этого уравнения, т.е. выполнено тождество:

(8) .

Поскольку по условию теоремы функция является (частным) решением уравнения (1), то при подстановке в него должно выполняться тождество:

(9) .

С учетом (7), функцию в (6) можно представить в виде . Подставим ее в неоднородное уравнение (1) и убедимся, что оно превратится при этом в верное тождество (а потому действительно функция (6) дает решение уравнения (1) при любых и ):
{соберем слагаемые, содержащие , затем слагаемые, содержащие } = {учитывая (8) и (9)} , что и требовалось показать.

Таким образом, справедливо следующее

Правило 2. Для нахождения общего решения неоднородного уравнения (1) достаточно найти любые два линейно независимых решения и соответствующего ему однородного уравнения (2) и какое-либо (частное) решение самого уравнения (1). После чего общее решение записывается в виде (6).

Согласно высказыванию в теореме 2, это Правило 2 можно более коротко сформулировать следующим образом: общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (2) и какого-либо частного решения самого неоднородного уравнения (1):

(10) ,

где есть общее решение однородного уравнения (вычисляемое по формуле (4)), а − частное решение неоднородного уравнения.

Замечание 3. Можно показать, что общее решение (6) неоднородного уравнения (1) содержит все решения этого уравнения. Это означает, что любое решение уравнения (1) имеет вид (6) с некоторыми конкретными числовыми значениями произвольных постоянных и .

Как же находить эти три функции , и , с помощью которых выписывается общее решение как однородного, так и неоднородного уравнения (Правило 1 и 2)? В следующем параграфе мы разберем соответствующий алгоритм их получения для того важного частного случая, когда коэффициенты этих уравнений и являются числами.