Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнения, допускающие понижение порядкаСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Одним из методов решения уравнений второго порядка является сведение его к последовательности уравнений первого порядка (если это, конечно, возможно). Итак, снова рассмотрим уравнение второго порядка вида (1) . Оказывается, что если формула в правой части (1) не содержит некоторых своих переменных, то в ряде случаев такое уравнение может быть сведено к последовательному решению уравнений 1-го порядка. Рассмотрим эти случаи. 1. Уравнения, не содержащие и . Пусть уравнение (1) в правой части не содержит и , т.е. является уравнением вида (2) . Это самый простой вид уравнения второго порядка, так как требует восстановить функцию по известной ее второй производной. Такого типа уравнение (уравнение ) мы решили в предыдущем параграфе, последовательным интегрированием находя сначала выражение для первой производной искомого решения, а затем и для самого решения . По этой же схеме решается и любое другое уравнение вида (2): вычисляя неопределенный интеграл от его правой части находят выражение для первой производной , а повторным интегрированием полученного выражения находят вид общего решения уравнения (2). Пример 1. Найти общее решение уравнения . Решение. Это уравнение не содержит искомой функции и ее производной . Деля обе части уравнения на , приведем его к виду (2): . Согласно предложенной выше схеме решения таких уравнений интегрированием его правой части находим сначала выражение для : . Таким образом, мы нашли выражение для производной искомого решения: . Повторным интегрированием правой части находим выражение для самого решения: = . Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид , где и − произвольные постоянные. 2. Уравнения, не содержащие . Пусть уравнение (1) в правой части не содержит искомую функцию , т.е. является уравнением вида (3) . Найдем сначала вспомогательную функцию такую, которая является производной от искомой функции : . Тогда вторая производная от решения окажется равной первой производной от , так как . Подставляя и в (3), получим, что если является решением (3), то вспомогательная функция должна быть решением уравнения (4) . Уравнение (4) – это уже уравнение 1-го порядка для нахождения функции , которое в некоторых случаях может быть решено методами, разобранными нами для решения уравнений первого порядка. Допустим, что мы одним их этих методов получили общее решение уравнения (4) в виде . Вспоминая, что , получаем выражение для производной искомого решения: . Как мы не раз уже делали, восстанавливаем функцию по ее производной с помощью интегрирования: (5) . Выражение (5) является общим решением уравнения (3), в котором постоянная интегрирования выписана явно, а потому при вычислении интеграла в (5) оставляем только одну первообразную (т.е. без «+С»). Пример 2. Найти решение задачи Коши . Решение. В этом примере необходимо найти такое решение уравнения (6) , которое при принимает значение , производная которого при принимает значение . Найдем сначала все решения уравнения (6), а затем выберем из них нужное. Это уравнение не содержит искомой функции . Согласно предложенному выше плану решения таких уравнений найдем сначала выражение для функции, являющейся производной искомого решения, которую обозначим : . Тогда . Подставляя и в (6), получим, что вспомогательная функция должна быть решением уравнения (7) . Разрешая это уравнение (оно уже первого порядка) относительно производной , получим уравнение (8) . Это уравнение с разделяющимися переменными, так как его правая часть представляется в виде произведения двух функций и , каждая из которых зависит только от одной переменной и соответственно. Поэтому далее действуем по схеме решения таких уравнений, приведенной в параграфе «Уравнение с разделяющимися переменными» (после уравнения (6) там): 1. Умножаем обе части (8) на : . 2. Делим обе части полученного уравнения на , в результате чего получаем уравнение с разделенными переменными . 3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными. 1) Навешиваем значок перед правой и левой частью уравнения: . 2) Вычисляя полученные интегралы: а) (табличный интеграл; «+С» в этом интеграле не пишем), б) {вносим под знак дифференциала, поправочный множитель при этом не нужен, так как }= {получается табличный интеграл вида при }= (модуль под знаком логарифма опущен, так как выражение положительно для всех значений ). Таким образом,
получаем следующий общий интеграл уравнения (8): (9) . 3) Получим из общего интеграла (9) общее решение уравнения (8). По лемме в параграфе «Уравнение с разделяющимися переменными» общий интеграл вида дает общее решение , где − произвольная постоянная, не равная 0 (). Тогда из (9) получаем, что общее решение уравнения (8) имеет вид . Учитывая свойство логарифмов , получаем общее решение в виде (10) , где может принимать любое значение, кроме . 4. Поскольку в пункте 2 мы делили обе части уравнения на , то потеряли решение уравнения (8). Учитывая, что получается в (10) как раз при , то выражение (10) содержит (при различных значениях ) все решения уравнения (8), но теперь произвольной постоянной будут позволены все числовые значения (и тоже!). Заменим в (10) обозначение произвольной постоянной с на , поскольку далее у нас появится еще одна произвольная постоянная, которую мы обозначим . Таким образом, все решения уравнения (8) содержаться в формуле (11) , где произвольная постоянная может пробегать любые числовые значения. Вспоминая, что решения исходного уравнения (6) удовлетворяют условию , то из (11) получаем для искомой функции уравнение (12) . Вспоминая, что по известному выражению для производной сама функция восстанавливается вычислением неопределенного интеграла, получаем . Таким образом, общее решение уравнения (6) имеет вид (13) . Для решения исходной задачи Коши осталось определить конкретные значения произвольных постоянных и из условий и . Подставляя в (13) и (12), получаем из условий и следующую систему для определения и : (14) . Из второго уравнения системы сразу получаем . Подставляя это значение в первое уравнение системы (14), находим и : . Подставляя эти значения и в (13), получаем окончательное решение исходной задачи Коши: . 3. Уравнения, не содержащие независимой переменной . Это наиболее сложный случай по сравнению с разобранными выше. Пусть уравнение (1) в правой части не содержит независимую переменную , т.е. является уравнением вида (15) . Найдем сначала такую вспомогательную функцию от переменной , чтобы для любого решения уравнения (15) выполнялось такое тождество: (16) . Выясним теперь, какому дифференциальному уравнения должна удовлетворять функция с таким свойством . Итак, пусть есть решение уравнения (15), т.е выполнено такое тождество по переменной : (17) . Далее, пусть функция такова, что выполнено тождество (16). Возьмем производную от правой и левой части в тождестве (16) (учитывая для производной в правой части формулу для производной сложной функции): (18) . Левые части тождеств (17) и (18) равны, следовательно, должны быть равны и правые части, т.е. должно выполняться тождество: . Заменив, согласно (16), в этом тождестве на , получим, что должно выполняться тождество: (19) . Для того, чтобы обеспечить выполнение (19), достаточно найти такую функцию , для которой бы для всех выполнялось бы тождество: (20) . Соотношение (20) является дифференциальным уравнением уже 1-го порядка относительно вспомогательной функции . Опуская в уравнении (20), как обычно, для краткости аргумент искомой функции, получаем следующее уравнение: (21) . Допустим, что мы нашли общее решение этого уравнения: (22) , где произвольная постоянная, появляющаяся при поиске общего решения уравнения 1-го порядка (21). Тогда, согласно (16) и (22), решение исходного уравнения (15) удовлетворяет тождеству , т.е. является решением еще одного уравнения 1-го порядка: (23) . Таким образом, поиск решения уравнения 2-го порядка вида (15) сводится к решению двух уравнений 1-го порядка: сначала ищется общее решение (22) уравнения (21) относительно функции , а затем ищется решение уравнения (23) относительно искомой функции . Заметим, что уравнение (21) получается из исходного уравнения (15) заменой в левой части на , а в правой части – на . Пример 3. Найти решение уравнения . Решение. Сначала приведем уравнение к виду (15), разделив обе его части на : (24) . Заметим, что, деля обе части уравнения на , мы теряем решение , которое потом обязательно учтем. То, что функция является решением исходного уравнения, проверяется непосредственной подстановкой ее в само уравнение. Уравнение второго порядка (24) не содержит независимой переменной . Поэтому по предложенной выше схеме сначала ищем такую вспомогательную функцию от переменной , чтобы для любого решения уравнения (24) выполнялось такое тождество . Как сказано выше, уравнение для получается из уравнения (24) заменой в левой части на , а в правой части – на : (25) . Решим это уравнение относительно функции . Перенося все в левую часть и вынося за скобку, получим: . Видно, что одно из решений этого уравнения: (26) . Другие решения уравнения (25) есть решения уравнения (27) . Решим уравнение (27). Это уравнение с разделяющимися переменными, так как его правую часть можно представить в виде произведения двух функций, зависящих порознь от одной из переменных: . Поэтому действуем по привычной схеме решения таких уравнений, приведенной в параграфе «Уравнение с разделяющимися переменными» (с учетом, что независимая переменная теперь обозначена не , а , а искомая функция , а не : 1. Умножаем обе части (27) на : . 2. Делим обе части полученного уравнения на , в результате чего получаем уравнение с разделенными переменными . 3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными. 1) Навешиваем значок перед правой и левой частью уравнения: . 2) Вычисляя полученные интегралы: а) (табличный интеграл; «+С» в этом интеграле не пишем), б) ={с учетом свойств логарифма: }= Таким образом, получаем следующий общий интеграл уравнения (27): (28) . 3) Получим из общего интеграла (28) общее решение уравнения (27). По лемме в параграфе «Уравнение с разделяющимися переменными» общий интеграл вида дает общее решение , где − произвольная постоянная, не равная 0 (). Тогда из (28) получаем, что общее решение уравнения (27) имеет вид . Учитывая свойство логарифмов , получаем общее решение в виде (29) , где может принимать любое значение, кроме . 4. Поскольку в пункте 2 мы делили обе части уравнения на , то потеряли решение уравнения (27). Учитывая, что получается из (29) как раз при , то выражение (29) содержит (при различных значениях ) все решения уравнения (27), но теперь произвольной постоянной будут позволены все числовые значения (и ). Отметим, что при получим и отмеченное выше решение (26) уравнения (25). Таким образом, выражение (29) дает общее решение уравнения (25) при всевозможных значениях произвольной постоянной С. Заменим в (29) обозначение произвольной постоянной с на , поскольку далее у нас снова появится еще одна произвольная постоянная, которую мы обозначим . Таким образом, все решения уравнения (25) содержаться в формуле (30) , где произвольная постоянная может пробегать любые числовые значения. Далее, согласно схеме решений уравнения такого типа, осталось решить уравнение вида (23), где, согласно (30), . Получаем уравнение на искомую функцию : (31) . Уравнение (31) − это снова уравнение с разделяющимися переменными, решаемое по известной схеме: 1. Умножаем обе части (27) на : . 2. Делим обе части полученного уравнения на , в результате чего получаем уравнение с разделенными переменными . 3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными. 1) Навешиваем значок перед правой и левой частью уравнения: . 2) Вычисляя полученные интегралы: а) («+С» не пишем), б) . Таким образом, получаем следующий общий интеграл уравнения (31): (32) . 3) «Переворачивая» обе части в (32) и умножая их на , получим из общего интеграла (32) общее решение уравнения (31): (33) , где и могут принимать любые значения (только одновременно не обращаться в , чтобы формула (33) имела смысл). 4. Поскольку в пункте 2 мы делили обе части уравнения на , то потеряли решение уравнения (31). Это решение мы заметили еще в самом начале, после получения уравнения (24). Итак, решением исходного уравнения являются функции (при любых значениях и , одновременно не обращающимся в ) и функция .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 169; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.148.105.152 (0.01 с.) |