Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

 

Это линейные уравнения вида (1) из предыдущего параграфа, у которых в левой его части функции и , стоящие множителями при и , являются постоянными, т.е. числами. Таким образом, линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида

(1) ,

где и − произвольные числа, а − непрерывная на некотором интервале функция. Поскольку уравнение (1) является частным случаем общего линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, то к нему применимы оба правила (Правило 1 и Правило 2) о структуре решений однородного и неоднородного уравнения, сформулированные в предыдущем параграфе.

Для удобства мы будем рассматривать уравнения чуть более общего вида, у которого при второй производной тоже стоит произвольный числовой коэффициент:

(2) ,

где a, b и с – произвольные числа. Уравнение (1) является частным случаем уравнения (2) (при , и ). С другой стороны, если разделить обе части уравнения (2) на , то коэффициент при тоже станет равным 1, а потому получится уравнение вида (1). Поэтому уравнение вида (2) тоже называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и к нему тоже применимы оба правила (Правило 1 и Правило 2) о структуре решений однородного и неоднородного уравнения, сформулированные в предыдущем параграфе.

Рассмотрим сначала однородное уравнение, когда функция в правой части уравнения (2) равна 0:

(3) .

Правило 1, сформулированное в предыдущем параграфе, говорит о том, что для нахождения общего решения однородного уравнения (3) достаточно найти любые два его линейно независимых решения и и выписать формулу для общего решения:

(4) ,

где и − произвольные постоянные.

Как же найти эти два линейно независимых решения и уравнения (3)? Для начала по виду уравнения (3) строится соответствующее ему квадратное уравнение, которое получается из (3) заменой на , на , а на :

(5) .

Квадратное уравнение (5) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (3). Как известно, для нахождения его корней сначала вычисляется дискриминант квадратного уравнения:

(6) .

Если , то характеристическое уравнение (5) имеет два различных корня и , вычисляемых по известным формулам корней квадратного уравнения:

(7) .

Если же , то характеристическое уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня = ), который получается из формулы (7) при :

(8) .

Если же дискриминант , то характеристическое уравнение (5) не имеет корней (в области действительных чисел). Вид линейно независимых решений и уравнения (3), входящих в формулу общего решения этого уравнения (4), устанавливает следующая

Теорема 1. Линейно независимые решения и уравнения (3), входящие в формулу общего решения этого уравнения (4), имеют следующий вид в зависимости от вида корней характеристического уравнения (5).

1. Характеристическое уравнение (5) имеет 2 различных корня и ( ), вычисляемых по формулам (7). Это соответствует случаю, когда дискриминант в (6). Тогда в формуле (4) и , а потому общее решение однородного уравнения (3) имеет вид:

(9) .

2. Характеристическое уравнение (5) имеет только один корень , вычисляемый по формуле (8). Можно в этом случае говорить и о двух равных корнях этого уравнения, что соответствует случаю в (6). Тогда в формуле (4) и , а потому общее решение однородного уравнения (3) имеет вид:

(10) .

3. Характеристическое уравнение (5) не имеет действительных корней, что соответствует случаю . Тогда в формуле (4) и , а потому общее решение однородного уравнения (3) имеет вид:

(11) ,

где

(12) , ,

а , и суть коэффициенты характеристического уравнения (5) и его дискриминант (6).

Доказательство. Как показано в теореме 1 предыдущего параграфа, функции и в формуле общего решения (4) должны удовлетворять двум условиям – быть линейно независимыми и быть решениями соответствующего однородного уравнения. Первое требование – независимость функций и , фигурирующих в перечисленных трех случаях условия данной теоремы – доказывалась в примерах 1, 2 и 3 предыдущего параграфа. Поэтому осталось доказать, что в каждом из упомянутых трех случаев соответствующие функции и являются решениями однородного уравнения (3), т.е. при подстановке в него дают верные тождества. Докажем это, например, для первого случая, когда дискриминант характеристического уравнения , а само это уравнение имеет два различных корня и (в двух других случаях, когда или , доказательство проводится по той же схеме, хотя и с более громоздкими выкладками). Поскольку число является корнем характеристического уравнения (5), то при подстановке в него вместо дает верное равенство:

(13) .

Вычислим предварительно производные от функции :

,

Подставим теперь функцию в левую часть дифференциального уравнения (3) с учетом только что вычисленных производных и убедимся, что получим 0 (т.е. будет действительно решением этого уравнения):

{из (13)} .

Аналогично доказывается, что и функция тоже является в этом случае решением дифференциального уравнения (3), что и требовалось показать.

Решим несколько примеров на применение формул (9), (10) и (11).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами вида (3). Построим характеристическое уравнение, заменяя в исходном уравнении на , на , а на : . Найдем дискриминант этого квадратного уравнения по формуле (6): . Поэтому характеристическое уравнение имеет 2 различных корня, вычисляемых по формуле (7): , . Таким образом, мы находимся в рамках первого случая в условии теоремы 1 (корни и различны), а потому общее решение исходного уравнения получаем из формулы (9) с вычисленными значениями и : .

Пример 2. Найти решение задачи Коши .

Решение. Найдем сначала общее решение уравнения (объединяющее все решения этого уравнения), а потом выделим из него то, которое удовлетворяет предложенным начальным условиям: и . Это опять линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами вида (3). Построим характеристическое уравнение, заменяя на , на , а на : . Найдем дискриминант этого квадратного уравнения по формуле (6): . Поэтому характеристическое уравнение имеет только один корень, который можно вычислить по формуле (8), получим: . Таким образом, мы находимся в рамках второго случая в условии теоремы 1 (характеристическое уравнение имеет только один корень ), а потому общее решение исходного уравнения получаем из формулы (10) с подстановкой вы нее :

(14) .

Для получения решения исходной задачи Коши осталось найти такие значения произвольных постоянных и , при которых функция в (14) будет удовлетворять дополнительным условиям: и . Условие говорит о том, что при подстановке функция в (14) должна принимать значение . Подставляя и в (14), получаем, что для и должно выполняться: . Учитывая, что , получаем, что . Мы можем подставить найденное в (14) и получим, что нужное нам решение имеет вид:

(15) .

Осталось найти значение второй постоянной , воспользовавшись вторым дополнительным условием . Это условие говорит о том, что при подстановке в выражение для производной функции в (15) должно получаться значение . Поскольку у нас пока нет выражения для производной функции (15) (а потому и некуда пока подставлять ), то получим это выражение по правилам вычисления производных: . Таким образом, выражение для производной имеет вид

(16) .

Теперь мы уже можем подставить в него и требовать, чтобы при этом получалось значение (в соответствии с условием ). Подставляя в (16) и , получим следующее условие для определения : , т.е. , откуда Подставляя это значение в (15), получаем окончательное выражение для функции, являющейся решением исходной задачи Коши: .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами вида (3) (т.е. вида ) с параметрами:

(17) , , .

Построим характеристическое уравнение, заменяя в исходном уравнении на , на , а на : . Найдем дискриминант этого квадратного уравнения по формуле (6): . Поэтому характеристическое уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы находимся в рамках третьего случая в условии теоремы 1 (, корней нет), а потому общее решение исходного уравнения получаем из формулы (11), в которой параметры и вычисляются по формулам (12) с учетом (17): , . Подставляя полученные значения и в (11), получаем выражение для общего решения исходного уравнения: .

Теперь рассмотрим метод нахождения общего решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами (2). Как отмечено в Правиле 2 предыдущего параграфа, общее решение любого неоднородного линейного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения самого неоднородного уравнения:

(18) ,

где есть общее решение однородного уравнения, а − частное решение неоднородного уравнения. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (2) вычисляется по формуле (18), где есть общее решение соответствующего однородного уравнения (3), а − какое-либо частное решение самого неоднородного уравнения (2). Выше мы уже подробно обсудили методы нахождения общего решения однородного уравнения (3) (см. формулу (4), в которой вид функций и описан в теореме 1), а потому осталось научиться находить − какое-либо частное решение самого неоднородного уравнения (2).

Мы обсудим здесь метод нахождения такого решения, известного под названием метод неопределенных коэффициентов. Недостатком этого метода является то, что он позволяет найти вид частного решения уравнения (2) не для любого вида правой части в этом уравнении. Но все-таки для многих важных случаев (они перечислены ниже в теореме 2) этот метод работает. Прежде, чем описывать суть этого метода, напомним, что многочленом степени (будем обозначать его или ) называется функция, представляющая собой сумму всех степеней (до включительно) переменной с некоторыми числовыми коэффициентами перед ними:

(19) ,

где − произвольные числа (коэффициенты многочлена). Например, общий вид многочлена 2-й степени:

(20) ,

а многочлена 1-й степени:

(21) .

Многочленом нулевой степени ( называется любое число:

(22) .

Метод неопределенных коэффициентов основан на следующей теореме (которую приводим без доказательства).

Теорема 2.

1. Пусть правая часть в неоднородном уравнении (2) имеет вид

(23) ,

где − некоторый многочлен некоторой степени n. Тогда у уравнения (2) обязательно имеется решение вида

(24) ,

где число в показателе экспоненты то же самое, что в правой части (23), − многочлен степени (той же степени, что и в (23), но, возможно, с какими-то уже другими коэффициентами), а показатель степени может принимать 3 значения:

а) , если число в (23) не является корнем характеристического уравнения (5) соответствующего однородного уравнения (3);

б) , если у этого характеристического уравнения имеется два различных корня, причем один из них равен числу в (23), а другой нет;

в) , если характеристическое уравнение имеет только один корень (т.е. его дискриминант = 0) и именно равный числу в (23).

2. Пусть правая часть в неоднородном уравнении (2) имеет вид

(25) ,

где , и − некоторые числа. Тогда у уравнения (2) обязательно имеется решение вида

(26) ,

где число под синусом и косинусом то же самое, что в (25) (но числа и могут уже отличаться от и в (25)), а показатель степени может принимать 2 значения:

а) , если исходное уравнение (2) имеет вид

(27)

с некоторыми числами , и ;

б) , если уравнение (2) отличается от вида (27).

Замечание. Выделим отдельно один часто встречающийся случай теоремы 2. Речь идет о том случае, когда правая часть в уравнении (2) является многочленом:

(28) ,

где − некоторый многочлен некоторой степени n. Поскольку это соответствует случаю, когда в (23) (так как тогда в (23): ), то из теоремы следует, что тогда у уравнения (2) обязательно имеется решение вида

(29) ,

где − многочлен степени (той же степени, что и в (28), но, возможно, с какими-то другими коэффициентами), а показатель степени может принимать 3 значения:

а) , если число не является корнем характеристического уравнения (5) соответствующего однородного уравнения (3);

б) , если у этого характеристического уравнения имеется два различных корня, причем один из них равен 0, а другой нет;

в) , если характеристическое уравнение имеет только один корень, да и тот равен нулю.

Как сказано выше, на этой теореме базируется метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородного уравнения (2). Согласно этому методу, для нахождения частного решения уравнения (2) необходимо:

1. В зависимости от того, имеет ли правая часть уравнения (2) вид (23) или (25) или (28), записать общий вид частного решения (24) или (26) или (29) с пока неопределенными (т.е. в буквах) коэффициентами многочлена в (24) или (29) или неопределенными коэффициентами и в (26).

2. Найти конкретные значения указанных неопределенных коэффициентов из того условия, чтобы выписанная в первом пункте функция при этих значениях коэффициентов действительно оказывалась бы решением уравнения (2), т.е. при подстановке в него давала бы верное тождество.

3. Подставить полученные значения вместо неопределенных коэффициентов в записи частного решения, выписанного в первом пункте.

Практическое применение метода неопределенных коэффициентов разберем на примерах.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

(30) .

Решение. Это, очевидно, линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами вида (2). Согласно формуле (18), его общее решение имеет вид

(31) ,

где есть общее решение соответствующего однородного уравнения

(32) ,

а − частное решение самого неоднородного уравнения (30). Найдем вид каждого слагаемого и в (31). Уравнение (32) − это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами вида (3). По правилу нахождения его общего решения (см. теорему 1) сначала строим его характеристическое уравнение, заменяя в уравнении (32) на , на , а на (правда в это уравнение не входит, поэтому заменять его на нет необходимости): . Если в левой части характеристического уравнения вынести , то получим . Поэтому и без применения общих формул решения квадратного уравнения ясно, что это уравнение имеет 2 корня и . Поскольку , то мы находимся в рамках первого случая в условии теоремы 1 (корни и различны), а потому общее решение однородного уравнения (32) получаем из формулы (9) с вычисленными значениями и : . Поскольку , то получаем окончательный вид общего решения однородного уравнения (32):

(33) .

Итак, вид первого слагаемого в формуле (31) установлен. Найдем теперь второе слагаемое − частное решение самого неоднородного уравнения (30) по приведенной выше схеме метода неопределенных коэффициентов.

1. Поскольку правая часть этого уравнения есть многочлен первой степени (так как имеет вид (21)), то мы находимся в рамках случая (28) при . Согласно этому случаю, частное решение неоднородного уравнения (30) имеет вид (29) при :

(34) ,

где − многочлен тоже первой степени, т.е. вида (21)

(35)

с неопределенными (пока) коэффициентами и . Поскольку один из корней характеристического многочлена (напомним, что эти корни были и ) равен нулю, а другой нет, то показатель степени в (34) (это случай б) в замечании после формулы (29)). Учитывая это, а также (35), формулу для частного решения (34) можно записать в виде или (раскрывая скобки):

(36) .

Итак, согласно теореме 2, у уравнения (30) имеется частное решение вида (36) с какими-то нам пока неизвестными коэффициентами – числами и .

2. Найдем конкретные значения указанных неопределенных коэффициентов и из того условия, чтобы при этих и функция в (36) действительно оказалась бы решением уравнения (30), т.е. при подстановке в него давала бы верное тождество. Подставим функцию (36) в левую часть уравнения (30) и потребуем, чтобы при этом действительно получилась правая часть этого уравнения, т.е. . Но в левой части (30) содержится не сама искомая функция, а ее производные и , а потому надо сначала вычислить выражения для производных и функции (36), а затем их подставлять в левую часть (30). Находим выражения для указанных производных, учитывая, что и есть некоторые числа (хотя нам пока и неизвестные): , т.е.

(37) .

Найдем выражение для второй производной: . Таким образом,

(38) .

Подставим теперь выражения (37) и (38) для и в левую часть уравнения (30) и потребуем выполнение тождества : или или

(39) .

Какими же должны быть числа и , чтобы было справедливо тождество (39)? Поскольку справа при стоит коэффициент , а слева , то должно выполниться: . Поскольку кроме этого справа стоит число , а слева , то должно выполниться: . Таким образом, для того, чтобы функция в (36) была решением уравнения (30), числа и в (36) должны удовлетворять системе уравнений: . Из первого уравнения системы сразу получим, что . Для нахождения числа подставим во второе уравнение системы: или или , откуда . Таким образом, функция в (36) является решением уравнения (30) при и .

3. Подставляем полученные значения неопределенных коэффициентов и в (36) и получаем, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

(40) .

Подставляя теперь в (31) полученные выражения для из (33) и из (40), получаем окончательный вид общего решения исходного уравнения (30):

.

Пример 5. Найти общее решение уравнения

(41) .

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами вида (2), а потому по формуле (18) его общее решение имеет вид , где есть общее решение соответствующего однородного уравнения

(42) ,

а − частное решение самого неоднородного уравнения (41). Найдем вид каждого слагаемого и в (18). Для нахождения общего решения однородного уравнения (42) составляем его характеристическое уравнение, заменяя в нем на , на