Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x), дифференцируемая на X, называется первообразной для функции f(x), если всюду на этом промежутке выполняется равенство: F’(x)=f(x). Если F(x) – первообразная для f(x), то первообразной для f(x) так же будет являться функция F(x)+C, C=const. Имеет место и обратное утверждение: любые 2 первообразные функции f(x) отличаются друг от друга на постоянную.

Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается: ∫f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла:

1. ∫ (f(x)dx)’=f(x)

2. ∫ F’(x)dx=F(x)+C

3. ∫ (f(x)+g(x))dx=∫ f(x)dx+∫ g(x)dx

4. ∫ K*f(x)dx= K∫ f(x)dx

 

Основные методы интегрирования

Замена переменных: пусть требуется вычислить интеграл ∫ f(x)dx и мы нашли функцию x=x(t), которая на промежутке дифференцируемая, монотонна, непрерывна и существует обратная функция t=t(x) и интеграл превратится в следующий:

∫ f(x)dx= ∫ f(x)*x’(t)dt= F(t)+C= F(t(x))+C

Интегрирование по частям: пусть u(x) и v(x) – две непрерывные дифференцируемые функции, тогда имеет место формула: ∫ udv= uv-∫vdu или ∫u v’dx= u*v - ∫ v*u’dx

Интегрирование рациональный дробей: (a₀+a₁x+…+a_mx^m)/(b₀+b₁x+…+b_nxⁿ)= P_m(x)/a_n(x), причем если m>n, то дробь неправильная, если m<=n, то дробь правильная

 

Интегрирование тригонометрических выражений

1) Интегралы вида ∫ sinKx*sinMx dx, ∫sin Kx*cos Mx dx, ∫ cos Kx*cos Mx dx вычисляются преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:

Sin Kx*sin Mx=1/2(cos(k-m)x-cos(k+m)x)

Sin Kx*cos Mx=1/2(sin(k-m)x+sin(k+m)x)

Cos Kx*cos Mx=1/2 (cos(k-m)x+cos(k+m)x)

2) Интегралы вида ∫ cos^mx*sinⁿx dx, где m или n – нечетное положительное число, вычисляются подведением под знак дифференциала.

3)) Интегралы вида ∫ cos^mx*sinⁿx dx, где m или n – четное положительное число, вычисляются с помощью формул понижения степени:

Sin²α=1/2(1-cos2α); cos²α=1/2(1+cos2α); sinα*cosα=1/2sin2α

4) Интегралы вида ∫ tg^mx dx, ∫ctg^mx dx, где m принадлежит N, вычисляются заменой переменной tgx=z, x=arctgz, dx=dz/1+z² или ctgx=z, x=arcctgz, dx= -dz/1+z²

5) Интегралы вида ∫ R(sinx,cosx)dx сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной подстановки tg x/2=z, тогда x=2arctgz, dx=2dz/1+z², sinx=2z/1+z², cosx=(1-z²)/(1+z²)

 

Интегрирование простейших иррациональных.

Существуют 2 метода интегрирования иррациональных выражений: метод подстановки, метод интегрирования по частям. Способ рационализации иррациональных выражений заключается в том, что мы подбираем такую замену, чтобы наша иррациональная дробь стала рациональной.

Интегралы простейших иррациональных дробей:

Этот интеграл выражается через элементарные функции, т.к. подинтегральная функция всегда рационализируется следующей заменой:

 

Интегрирование дробно-рациональных функций

Функция вида P(x)/Q(x), где P(x),Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией. Обычно, дробно рациональные функции интегрируются с помощью разложения на простейшие дроби.

 

Определенный интеграл Римана

Функция f(x) называется интегрированной по Риману на [a;b], если существует конечный предел , называемый определенным интегралом Римана. Обозначается:

Обозначаемый интеграл всегда число и не зависит от переменной интегрирования.

Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена

 

Приложения определенного интеграла

1) Вычисление S плоских фигур

Пусть f(x)>=0 на [a;b] и непрерывна на нем. Вычисление S криволинейной трапеции= . Если же функция отрицательна на [a;b], то . Если же фигура ограничена функциями f(x) – сверху, g(x) – снизу, то

2) Вычисление объемов тел

, где S(x) – площадь сечения,

Если кривая задана параметрически и u’>0, то

3) Вычисление длины дуги кривой

Если кривая задана параметрически, то

Если дуга задана уравнением q=q(u), то

4) Вычисление площади поверхности вращения

 

Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Дифференциальные уравнения – это одно или несколько уравнений с производными некоторых функций.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка: F(x,y,y’,y’’,…,y⁽ⁿ⁾)=0

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), зависящая от х и произвольных постоянных, при подстановке которых дифференциальное уравнение обращается в тождество. Если решение ДУ задается в виде уравнения, не разрешенного относительно у, то его называют общим интегралом.

 

Степенные ряды

Степенным называется функциональный ряд вида а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nxⁿ+…= (1)

Теорема Абеля: если ряд (1) сходится в т.х₀, то он сходится абсолютно для всех х, таких что 0≤|x|≤|x₀|

О радиусе сходимости: пусть ряд (1) сходится не только при х₀, но и не на всей числовой прямой, тогда существует положительное число R, такое что для всех х принадлежащем интервалу от –R до R ряд сходится, и для всех х не принадлежащих отрезку от –R до R расходится, число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда может быть вычислен по формулам:

1)

2) если существует предел =D, то R=1/D

Свойства:

1) Степенной ряд внутри интервала сходимости сходится равномерно

2) Суммой степенного ряда является функция, непрерывная внутри интервала сходимости

3) Пусть внутри интервала от –R до R степенной ряд сходится, тогда, для любого отрезка от 0 до х, принадлежащему этому интервалу, степенной ряд можно почленно интегрировать

 

Применение рядов.

Числовые функциональные ряды применяются в приближенных вычислениях:

1) при решении дифференциальных уравнений

2) при приближенном вычислении интегралов

Вычисление значений функции с помощью рядов: пусть необходимо вычислить значение функции f(x) в т.х₀=х заданной точностью ; и пусть эта функция разлагается по степени (х-а) в интервале (a-R;a+R), х₀ принадлежит этому интервалу.

, тогда

Взяв достаточное количество членов, получим приближенное равенство, точность которого увеличивается с членом n.

Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x), дифференцируемая на X, называется первообразной для функции f(x), если всюду на этом промежутке выполняется равенство: F’(x)=f(x). Если F(x) – первообразная для f(x), то первообразной для f(x) так же будет являться функция F(x)+C, C=const. Имеет место и обратное утверждение: любые 2 первообразные функции f(x) отличаются друг от друга на постоянную.

Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается: ∫f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла:

1. ∫ (f(x)dx)’=f(x)

2. ∫ F’(x)dx=F(x)+C

3. ∫ (f(x)+g(x))dx=∫ f(x)dx+∫ g(x)dx

4. ∫ K*f(x)dx= K∫ f(x)dx