Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.Если каждой точке этой области определено число , говорят, что в области определено (задано) скалярное поле или функция точки. Иначе можно сказать, что скалярное поле – это скалярная функция вместе с ее областью определения.

Пусть задано скалярное поле, т.е. задана функция, и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .

Производной от функции в точке по направлению вектора называется предел отношения при , т.е. .

 

Если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:

,

где - направляющие косинусы вектора .

В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (4.1) примет следующий вид:

, где .Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции в точке по направлению вектора . Если , то функция возрастает в направлении , если , то функция убывает в направлении .

Градиент

В каждой точке области , в которой задана скалярная функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).

Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

. (4.3)

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .

Используя определение градиента, формуле для производной по направлению можно придать следующий вид:

,которая читается так: производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления ().Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.

,

где j - угол между и направлением .