Скалярный и векторный потенциалы

Закон Фарадея и закон Гаусса для магнитной индукции выполняются тождественно, если электрическое и магнитное поля выразить через скалярный и векторный потенциалы^[39]:

СГС	СИ

Доказательство

Если магнитное поле равно ротору векторного потенциала, то дивергенция автоматически равна нулю:

Подставляя выражение для напряжённости электрического поля в закон Фарадея, например, в системе СИ, получаем:

При данных электрическом и магнитном полях, скалярный и векторный потенциалы определены неоднозначно. Если — произвольная функция координат и времени, то следующее преобразование не изменит значение полей:

СГС	СИ

Подобные преобразования играют важную роль в квантовой электродинамике и лежат в основе локальной калибровочной симметрии электромагнитного взаимодействия. Локальная калибровочная симметрия вводит зависимость от координат и времени в фазу глобальной калибровочной симметрии, которая, в силу теоремы Нётер, приводит к закону сохранения заряда.

Неоднозначность определения потенциалов оказывается удобной для наложения на них дополнительных условий, называемых калибровкой. Благодаря этому, уравнения электродинамики принимают более простой вид. Рассмотрим, например, уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах с диэлектрической () и магнитной () проницаемостями. Для данных и всегда можно подобрать та¢кую функцию , чтобы выполнялось калибровочное условие Лоренца ^[40]:

СГС	СИ

В этом случае оставшиеся уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах могут быть записаны в следующем виде:

СГС	СИ

где — оператор Д’Аламбера, который и в системе СГС, и в системе СИ имеет вид:

Таким образом, 8 уравнений Максвелла для компонент электромагнитного поля (2 векторных и 2 скалярных) при помощи потенциалов могут быть сведены к 4 уравнениям (скалярному для и векторному для ). Решения этих уравнений для произвольно двигающегося точечного заряда называются потенциалами Лиенара — Вихерта^[41].

Возможно введение других калибровок. Так, для решения ряда задач удобной оказывается кулоновская калибровка:

В этом случае:

СГС	СИ

где — соленоидальная часть тока ().

Первое уравнение описывает мгновенное (без запаздывания) действие кулоновской силы, поскольку кулоновская калибровка неинвариантна относительно преобразований Лоренца. При этом энергию кулоновского взаимодействия можно отделить от остальных взаимодействий, что облегчает квантование поля в гамильтоновом формализме^[42].

Векторный потенциал играет большую роль в электродинамике и в квантовой теории поля, однако для исследования процессов распространения электромагнитных волн в отсутствие токов и зарядов его введение часто не приводит к упрощению системы, а сводится к простой замене векторов электрического и магнитного поля на другой аналогичный вектор, описываемый теми же уравнениями. Так, для гармонических полей векторный потенциал будет просто пропорционален электрическому полю (скалярный потенциал при этом можно положить равным нулю).

Векторы Герца

• В 1887 году Генрих Герц предложил вместо непосредственного решения уравнений Максвелла для двух векторных функций электрического и магнитного полей или скалярного и векторного потенциалов перейти к новой единственной векторной функции, которая носит теперь имя электрического вектора Герца и позволяет в некоторых случаях упростить решение электродинамических задач, сводя их к решению скалярного волнового уравнения.

СГС	СИ

Заметим, что скалярный и векторный потенциалы, выраженные через вектор Герца, автоматически удовлетворяют калибровочному условию Лоренца. Вектор Герца учитывает все поля, связанные со свободными зарядами и их токами.

Подставляя выражения для полей через электрический вектор в два последних уравнения Максвелла, можно получить^[43][44]:

СГС	СИ

Здесь введён вектор поляризации свободных зарядов и токов:

(при этом уравнение непрерывности для заряда автоматически выполняется).

Таким образом, электрический вектор Герца определяется волновыми уравнениями, в правой части которых стоит поляризуемость, обусловленная свободными, либо свободными и связанными зарядами, то есть электрическими дипольными моментами.

• В 1901 году парный электрическому вектору Герца магнитный вектор, который также традиционно называют именем Герца, ввёл итальянский физик Аугусто Риги^[45].

СГС	СИ

Поскольку поля, описываемые магнитным вектором Герца, не зависят от свободных зарядов и токов, а магнитные монополи не обнаружены, потенциалы удовлетворяют калибровке Лоренца в вырожденном виде — так называемой кулоновской калибровке (, ).

Аналогичным образом можно получить уравнения для магнитного потенциала Герца, подставляя выраженные через него поля в третье и четвёртое уравнения Максвелла без тока:

СГС	СИ

Действие сторонних магнитных полей, связанных с внешними источниками, может быть учтено по аналогии с электрическим вектором Герца введением в правые части дополнительной магнитной поляризации .

Таким образом, выделяется два типа электромагнитных полей, выражающихся через электрический и магнитный потенциалы Герца, а произвольное поле можно представить в виде суммы таких полей. Поля, выражающиеся через электрический вектор Герца носят название полей электрического типа или поперечно-магнитных () полей, поскольку магнитное поле для них ортогонально направлению вектора Герца. Соответственно, поля, выражающиеся через магнитный вектор Герца, называют полями магнитного типа или поперечно-электрическими полями (), электрическое поле в которых ортогонально порождающему вектору Герца. Поля можно представить как поля, порождаемые распределёнными в пространстве электрическими диполями, а поля , соответственно, магнитными. Векторные потенциалы Герца, в свою очередь, могут быть во многих случаях выражены через скалярные потенциалы.

Потенциалы Дебая

В электродинамике широко используются скалярные потенциалы, предложенные Дебаем^[46].

Волновое уравнение представляет собой систему трёх связанных скалярных уравнений, которые распадаются на три скалярных уравнения Гельмгольца только в декартовой системе координат. Для удобства поиска решений, удовлетворяющих граничным условиям желательно выбирать координатные системы, координатные поверхности которых близки или совпадают с поверхностями границ. Один из подходов к решению векторного уравнения Гельмгольца состоит во введении скалярных функций , удовлетворяющих скалярному волновому уравнению Гельмгольца, через которые затем могут быть выражены векторные поля^[47]:

Здесь — некоторая векторная функция координат. Вектор , описывает потенциальную часть поля и его можно положить равным нулю при отсутствии свободных зарядов.

Если для некоторой ортогональной координатной системы существует функция , пропорциональная координатному вектору, то произвольное векторное поле, удовлетворяющее векторному уравнению Гельмгольца в этой системе, можно представить в виде суммы векторных функций, пропорциональных векторам и . Как следует из уравнений Максвелла, электрическому полю, пропорциональному , соответствует магнитное поле типа и наоборот. При этом векторные потенциалы соответствуют векторам Герца. Поскольку в этом случае поле, пропорциональное , нормально вектору , его компоненты являются тангенциальными к соответствующей координатной поверхности. Если границы в решаемой задаче совпадают с одной из таких координатных поверхностей, то удовлетворение граничным условиям существенно упрощается.

Такое представление возможно только в ограниченном числе ортогональных координатных систем^[48]. В декартовой системе координат в качестве вектора может выступать любой координатный вектор. Соответствующие решения представляют собой плоские волны. Для цилиндрической системы координат , для сферической . Кроме того, такое представление возможно в конической, а также относительно оси в параболической и эллиптической цилиндрических системах координат.