Векторы Римана — Зильберштейна

Если ввести комплексный вектор Римана — Зильберштейна и комплексно сопряжённый ему вектор ^[49][50][51]:

СГС	СИ

то уравнения Максвелла сводятся к двум:

СГС	СИ

При отсутствии сторонних зарядов и токов остаётся только второе уравнение (первое из-за равенства дивергенции ротора нулю в этом случае удовлетворяется автоматически с точностью до не зависящей от времени компоненты):

В отличие от волнового уравнения, которое получаются в этом случае для векторов поля или потенциала, последнее векторное дифференциальное уравнение имеет первый, а не второй порядок и поэтому в ряде случаев может быть проще для решения.

Для гармонического поля с зависимостью вектор является собственным вектором оператора ротора:

При выбранной нормировке имеет смысл комплексной амплитуды электромагнитного поля, а его квадрат модуля

имеет смысл плотности энергии поля.

Вектор Пойнтинга:

Векторы и можно интерпретировать как волновые функции циркулярно поляризованных фотонов^[50].

Ковариантная формулировка

С современной точки зрения, четырёхмерная ковариантная формулировка электродинамики, и в частности — запись уравнений Максвелла в таком виде, является физически наиболее фундаментальной.

Практически она приводит, кроме явной ковариантности, к значительно большей компактности уравнений, а значит определенной красоте и в ряде случаев удобству, и более органично и прямо включает в себя единство электромагнитного поля.

Под ковариантной формулировкой понимают два различающихся, но прямо и непосредственно связанных варианта: лоренц-ковариантная формулировка в плоском пространстве-времени Минковского и общековариантная формулировка для общего случая искривленного пространства-времени (стандартно рассматриваемая в контексте общей теории относительности). Второй вариант отличается от первого тем, что метрика пространства-времени в нём не постоянна (что может означать как присутствие гравитации, так и просто использование более широкого класса координат, например, соответствующих неинерциальным системам отсчета), и во многом сводится к замене обычных производных по (четырехмерным) координатам на ковариантные производные (в значительной части случаев это сводится к механической замене первых на вторые). Кроме прочего, второй вариант позволяет исследовать взаимодействие электромагнитного поля с гравитацией.

• Ниже сначала рассмотрен (как более простой) первый вариант — вариант лоренц-ковариантной формулировки в плоском пространстве-времени.

Четырёхмерные векторы

При ковариантной записи уравнений электродинамики производится переход от трёхмерных векторов и скаляров к четырёхмерным векторам (4-векторы). Независимо от системы единиц, четырёхмерные координаты (4-вектор координат, в компоненты которого входят время и трехмерные пространственные координаты), производная по этим координатам (4-производная) и плотность тока определяются следующим образом^[52]:

Индекс 4-вектора принимает значения . В компонентной записи вектора сначала идёт нулевая компонента, затем — пространственные. Например, время равно , а плотность заряда . В силу этих определений, закон сохранения заряда в ковариантной форме принимает следующий вид:

По повторяющемуся индексу предполагается суммирование от 0 до 3 (правило Эйнштейна).

Пример

Приведенное выше уравнение является компактной записью уравнения непрерывности:

Введём 4-вектор потенциала, имеющий в системах СГС и СИ следующие компоненты:

СГС	СИ

При ковариантной записи играет роль положение индекса у 4-вектора. Если индекс находится внизу, то такой вектор называется ковариантным вектором (или ковектором), и его пространственные компоненты имеют обратный знак по сравнению с компонентами 4-вектора. Поднятие и опускание индексов проводится при помощи метрического тензора , который в четырёхмерном пространстве Минковского имеет диагональный вид с сигнатурой: .

При помощи такого определения 4-вектора потенциала, калибровочное условие Лоренца в ковариантной форме можно записать следующим образом:

Если это условие выполняется, то уравнения Максвелла для потенциалов в вакууме при наличии зарядов и токов принимают вид:

СГС	СИ

где — оператор Даламбера с обратным знаком:

Нулевая компонента уравнений Максвелла для 4-вектора потенциала соответствует уравнению для , а пространственная — для .