Единственность решений уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Поэтому для их решения необходимо задать начальные и граничные условия. При фиксированных функциях плотности заряда и тока для нестационарных полей получаемое решение единственно. Этот факт формулируется в виде теоремы^[73][74][75]:

Если напряженности электрического и магнитного полей заданы в начальный момент времени в каждой точке некоторой области пространства и в течениe всего времени заданы тангенциальные (касательные) составляющие напряженности электрического или магнитного поля на границе этой области , то существует единственное решение уравнений Максвелла.

Доказательство

Пусть электрическая и магнитная индукции связаны с напряжённостями полей при помощи следующих материальных уравнений:

где и — положительно определённые, симметричные, стационарные матрицы. Если при данных начальных и граничных условиях существуют два различных решения, то следующие величины будут отличны от нуля:

где индекс указывает номер решения. Так как начальные и граничные условия заданы (одинаковые для обоих возможных решений), то:

Первые соотношения соответствуют начальным условиям, в вторые — граничным условиям на поверхности , где . (Индекс — нормальная составляющая к поверхности, а — касательная. Аналогично для ) Подстановка функций и в уравнения Максвелла для роторов приводит к следующим уравнениям:

где коэффициент равен в системе СГС и единице в системе СИ. Если одно из разностных полей или равно нулю, то в силу нулевых начальных условий, соответственно, из первого или второго уравнения следует равенство нулю неопределенного разностного поля, соответственно, или , и единственность в этих частных случаях доказана.

Предположим, что не равны нулю оба разностных поля. Если первое уравнение умножить на , а второе на , и вычесть друг из друга, то получится следующее выражение:

Это выражение можно проинтегрировать по объёму , и применить теорему Гаусса:

Тангенциальные (касательные) к поверхности компоненты векторов или при любом равны нулю (граничные условия), поэтому равен нулю и интеграл по поверхности. Следовательно:

Полученное соотношение интегрируется по времени. Так как в начальный момент времени функции , то константа интегрирования равна нулю, и при любом :

Подынтегральная функция является положительно определённой (всегда больше или равна нулю). Интеграл от такой функции равен нулю, только в том случае когда подынтегральная функция тождественно равна нулю. Следовательно, в любой момент времени внутри объёма и . Поэтому решения совпадают.

Для единственности решения уравнений Максвелла вместо задания тангенциальных компонент поля можно потребовать выполнение на границе условия импедансного типа

где импеданс выбран так, чтобы исключить приток энергии извне. Такое условие позволяет сформулировать теорему единственности и в неограниченном случае, при этом импедансное условие обращается в условие излучения Зоммерфельда на бесконечности.

Для гармонических во времени процессов единственность решения задачи без начальных условий обеспечивается сколь угодно малым поглощением энергии внутри объёма или её утечкой через поверхность (исключающими собственные колебания на действительных резонансных частотах).

В стационарных задачах электростатики и магнитостатики единственное решение для установившихся полей определяется только граничными условиями.