Плоские электромагнитные волны

• Предположим, что напряжённость электрического поля и магнитная индукция являются произвольными функциями следующей комбинации координат и времени:

где — некоторый постоянный вектор. В этом случае и удовлетворяют уравнениям Максвелла в отсутствие зарядов и токов, если между ними существует следующая связь:

СГС	СИ

и они перпендикулярны вектору , который должен быть единичным:

Вывод решения для плоской волны [показать]

Если напряжённость электрического поля зависит от координат и времени в виде следующей их комбинации , то для производной -той компоненты вектора по -той координате и времени можно записать:

и аналогично для магнитной индукции. Поэтому уравнения Максвелла в отсутствие зарядов и токов принимают вид (система СИ):

Интегрируя эти соотношения по и опуская константы интегрирования, которые соответствуют постоянным полям, получаем:

Подставляя четвёртое уравнение в третье, получаем .

Физический смысл решения в виде плоской волны состоит в следующем. Выберем ось декартовой системы координат так, чтобы вектор был направлен вдоль неё. Тогда электрические и магнитные поля волны зависят от координаты и времени следующим образом:

Предположим, что в начальный момент времени , напряжённость поля является произвольной векторной функцией . С течением времени, эта функция будет сдвигаться в пространстве вдоль оси со скоростью .

В электромагнитной волне в общем случае напряжённость поля может быть произвольной непериодической функцией . Например, решение в виде плоской волны может описывать электромагнитный импульс локализованный вдоль направления движения. В плоскости перпендикулярной , электромагнитные поля не изменяются, что означает, что в этой плоскости плоская волна не ограничена и имеет плоский фазовый фронт (именно поэтому волна называется плоской). Так как электрическое и магнитное поля при распространении плоской волны всё время остаются перпендикулярными вектору , такие волны называют «поперечными» или «трансверсальными». Векторы и , в силу свойств векторного произведения, также перпендикулярны друг другу.

• Плотности энергии электрического и магнитного поля в плоской волне равны друг другу:

СГС	СИ

Вектор Пойнтинга (плотность потока энергии), независимо от системы единиц, связан с полной плотностью энергии следующим образом:

Это соотношение соответствует уравнению связи импульса и энергии для безмассовой частицы в релятивистской теории. Однако, скорость в среде меньше чем скорость света в вакууме .

Циркулярно и линейно поляризованная плоская электромагнитная волна

Плоские и поперечные волны являются математическими абстракциями. Реальные волны конечной апертуры из-за эффекта дифракции можно считать плоскими и поперечными лишь в некотором приближении.

• Важный частный случай решения в виде плоских волн возникает, когда напряжённости полей являются гармоническими периодическими функциями.

Выберем координатную ось вдоль волнового вектора . Тогда вектор электрического поля (как, впрочем, и магнитного) будет лежать в плоскости , то есть . Если по каждой проекции в этой плоскости электрическое поле совершает периодические колебания, то такую волну называют монохроматической плоской волной:

Сравнение с общим решением для плоской волны, приводит к следующей связи между вектором и константой , которое называется уравнением дисперсии:

В этом случае, вектор называется волновым вектором, а — круговой частотой монохроматической электромагнитной волны. Модуль волнового вектора и круговая частота связаны с длиной волны и её частотой следующим образом:

Константы и являются сдвигами фазы, а и — амплитудами колебаний вдоль каждой оси.

В фиксированной точке пространства () вектор электрического поля, в общем случае, описывает в плоскости эллипс, поэтому такие волны называются эллиптически поляризованными. Их частным случаем являются волны поляризованные по кругу. Вырожденный в прямую эллипс соответствует колебаниям напряжённости поля вдоль одной прямой в плоскости . Такие волны называются линейно поляризованными. Аналогична ситуация с вектором магнитной индукции, который всё время перпендикулярен напряжённости электрического поля.

Связь с другими теориями

Уравнения Максвелла полностью совместимы с принципами специальной теории относительности. Они также применимы при микроскопическом описании вещества, когда заряженные частицы подчиняются принципам квантовой механики, а электромагнитное поле остаётся классическим (не квантовым). В этом случае квантовые объекты (например, электроны) описываются уравнением Шрёдингера или уравнением Дирака, однако, потенциалы электромагнитного взаимодействия в этих уравнениях определяются классическими уравнениями Максвелла.

Тем не менее, существуют явления, для описания которых требуется более последовательное объединение полевого подхода Фарадея — Максвелла с принципами квантовой механики. Оно осуществляется при помощи методов квантовой теории поля в квантовой электродинамике. В этом случае форма уравнений Максвелла (лагранжиан) остаётся неизменной, однако поля становятся операторами, а уравнения Максвелла — операторными уравнениями Гейзенберга. Решение подобных уравнений приводит к появлению новых эффектов, отсутствующих в классической теории поля. Эти эффекты существенны, в частности, в следующих физических ситуациях:

• Сверхсильные поля ( В/м, где — масса электрона, — его заряд, — постоянная Планка) — работа такого поля на комптоновской длине волны электрона равна по порядку величины энергии покоя электрона, что приводит к самопроизвольной генерации электрон-позитронных пар из вакуума (эффект Швингера)^[66]. В результате возникает эффективное взаимодействие фотонов, которое отсутствует в классической электродинамике, приводящее к эффективному изменению лагранжиана поля (например, в низкоэнергетическом пределе поле описывается лагранжианом Гейзенберга — Эйлера^[67]).
• Сверхслабые поля, с энергией , где — частота поля (см. формула Планка). В этом случае становятся заметными отдельные кванты электромагнитного поля — фотоны.
• Для описания эффектов поглощения и испускания света атомами и молекулами.
• Для описания неклассических, например, сжатых состояний поля^[68].
• На малых расстояниях, сравнимых с комптоновской длиной волны электрона, м, когда в результате вакуумных эффектов, модифицируется, например, закон Кулона.

Аксиоматический подход

Исторически уравнения Максвелла возникли в результате обобщения различных экспериментальных открытий. Однако с аксиоматической точки зрения их можно получить при помощи следующей последовательности шагов^[69]:

• Постулируются:
• закон Кулона (сила , действующая на пробный заряд со стороны неподвижного заряда );
• инвариантность заряда в различных инерциальных системах отсчёта;
• принцип суперпозиции.
• При помощи преобразований Лоренца получается значение для вектора силы , действующей на пробный заряд, со стороны равномерно двигающегося со скоростью заряда , которое совпадает с силой Лоренца.
• Дивергенция и ротор, вычисленные от электрической () и магнитной () составляющих силы дают уравнения Максвелла для точечного заряда. В силу принципа суперпозиции они записываются для произвольного распределения зарядов и токов. В заключение постулируется применимость этих уравнений и к ускоренному движению зарядов.

Второй подход основан на лагранжевом формализме^[70]. При этом постулируется, что электромагнитное поле описывается линейным взаимодействием четырёхмерного потенциала , с четырёх-вектором электрического тока , а свободный лагранжиан пропорционален инвариантной свёртке квадрата тензора электромагнитного поля .

Как в первом, так и во втором подходе предполагаются установленными принципы теории относительности. Хотя исторически она возникла на основе уравнений Максвелла и второго постулата Эйнштейна, известен, восходящий к работам Игнатовского ^[71], Франка и Роте^[72], аксиоматический способ построения СТО, не использующий постулата об инвариантности скорости света и уравнений Максвелла.

В обоих аксиоматических подходах получаются уравнения Максвелла в вакууме при наличии свободных зарядов. Расширение этих уравнений на электродинамику сплошных сред требует дальнейшего привлечения различных модельных представлений о структуре вещества.