Вывод уравнения непрерывности

Дивергенция от ротора равна нулю, поэтому для четвёртого уравнения Максвелла (закон Ампера — Максвелла) в системе СИ имеем:

где в последнем равенстве подставлено первое уравнение (закон Гаусса).

Это уравнение при помощи интегральной теоремы Остроградского — Гаусса можно записать в следующем виде:

В левой части уравнения находится полный ток, протекающий через замкнутую поверхность . В правой части — изменение со временем заряда, находящегося внутри объёма . Таким образом, изменение заряда внутри объёма возможно только при его притоке или оттоке через поверхность , ограничивающую объём.

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Это уравнение само по себе может быть положено в основу (быть выбрано одним из решающих постулатов) электромагнитной теории.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.

Закон сохранения энергии

Если умножить третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме (закон Фарадея) скалярно на , а четвёртое (закон Ампера — Максвелла) на и сложить результаты, можно получить теорему Пойнтинга:

где

СГС	СИ

Вывод теоремы Пойнтинга

При помощи третьего и четвёртого уравнения Максвелла в дифференциальной форме, в системе СИ можно получить:

Разница левых частей уравнений сворачивается по следующей формуле векторного анализа (производная произведения):

В линейных, но, возможно, неизотропных средах, между напряжённостями и индукциями существует линейная связь. Например, для электрического поля . Если симметричная матрица, не зависящая от времени, то:

Аналогично для магнитного поля.

Вектор называется вектором Пойнтинга (вектором плотности потока электромагнитной энергии) и определяет количество электромагнитной энергии, переносимой через единицу площади в единицу времени. Интеграл вектора Пойнтинга по сечению распространяющейся волны определяет её мощность. Важно отметить, что, как впервые указал Хевисайд, физический смысл потока энергии имеет только безвихревая часть вектора Пойнтинга. Вихревая часть, дивергенция которой равна нулю, не связана с переносом энергии. Заметим, что Хевисайд получил выражение для закона сохранения независимо от Пойнтинга. В русскоязычной литературе вектор Пойнтинга часто называется также «вектором Умова — Пойнтинга».

Величины и определяют объёмные плотности энергии, соответственно, электрического и магнитного полей. При отсутствии токов и связанных с ними потерь теорема Пойнтинга является уравнением непрерывности для энергии электромагнитного поля. Проинтегрировав его в этом случае по некоторому замкнутому объёму и воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, можно получить закон сохранения энергии для электромагнитного поля:

Это уравнение показывает, что при отсутствии внутренних потерь изменение энергии электромагнитного поля в объёме происходит только за счёт мощности электромагнитного излучения, переносимого через границу этого объёма.