Запись при помощи дифференциальных форм

Основная статья: Дифференциальные формы в электромагнетизме

Уравнения Максвелла в ковариантной форме, аналогично векторному представлению в трёхмерном пространстве, можно записать в «безындексной форме». Для этого вводится операция внешнего произведения , обладающая свойством антисимметричности . Внешнее произведение позволяет записывать свёрнутые по всем индексам выражения с антисимметричными тензорами, такими как . При этом возникают объекты, называемые дифференциальными формами (или просто формами)^[61]. 1-форма потенциала поля определяется следующим образом (по индексу — сумма от 0 до 3):

Из 1-формы, при помощи операции внешнего дифференцирования , получается 2-форма электромагнитного поля (или 2-форма Фарадея):

Операция внешнего дифференцирования обладает свойством , что приводит к закону Гаусса для магнитного поля и закону Фарадея:

Для записи оставшихся уравнений Максвелла вводится дуальная к 2-форма , называемая также 2-формой Максвелла^[62]:

и 3-форма тока:

где — абсолютный антисимметричный символ Леви-Чивиты (). Свёртка с символом Леви-Чевиты внешнего произведения дифференциалов называется оператором звезды Ходжа.

В этих обозначениях уравнения Максвелла в системах СГС и СИ принимают следующий вид^[63]:

СГС	СИ

Доказательство

Чтобы показать эквивалентность этих уравнений уравнениям Максвелла, необходимо записать их в трёхмерной векторной форме. В этом случае, в системе СГС, ток и 2-форма Максвелла имеют вид:

где — трёхмерный объём, а — вектор площади поверхности в трёхмерном пространстве. Так как:

то, с учётом уравнений Максвелла в дифференциальной форме, получим .

С учётом тождества , последнее уравнение Максвелла, записанное при помощи дифференциальных форм сразу приводит к уравнению непрерывности (закону сохранения заряда):

В такой форме уравнения Максвелла остаются справедливыми и на произвольном 4-мерном многообразии, например, в искривлённом пространстве-времени общей теории относительности. В этом случае, в соотношениях дополнительно появляется определитель метрического тензора . Например, для тока и внешнего дифференцирования:

Общековариантная запись в компонентах

На произвольном 4-мерном многообразии, то есть в общем случае, включающем и пространство-время ненулевой кривизны (а также произвольных четырёхмерных координат, включая случаи неинерциальных систем отсчета) электродинамика может быть сформулирована и в обычных индексных обозначениях.

В основном рецепт перехода от случая нулевой кривизны пространства-времени и лоренцевых систем отсчета в нём, подробно описанного выше, к общему случаю состоит в замене обычных производных по координатам на ковариантные производные, учет того, что метрика в этом случае не постоянна и не имеет специального лоренцева вида (то есть практически произвольна), а также при интегрировании — например, при записи действия — учёт того, что метрика входит в элемент объёма (через множитель — корень из минус детерминанта метрики).

Спектральное представление

В электродинамике большое значение имеют гармонические колебания. Такие поля можно представить в виде:

где — частота колебаний поля. Обозначение «c. c.» означает комплексное сопряжение предыдущего слагаемого. В некоторых работах коэффициент 1/2 в соглашении о гармонических амплитудах не используется, что приводит к соответствующей модификации всех связанных с этим соглашением выражений. В литературе также часто встречается выбор обратного знака в комплексной экспоненте. Рассмотренный здесь вариант согласуется с принятым в квантовой теории в представлении Шрёдингера.

Усреднённые за период плотности энергии электрического и магнитного поля равны, соответственно:

СГС	СИ

Используя преобразование Фурье, по гармоническим колебаниям можно разложить поля с произвольной временной зависимостью.

Переход к спектральным компонентам позволяет сосредоточиться на координатной зависимости полей. Уравнения Максвелла для спектральных компонент в однородных средах при этом принимают вид:

СГС	СИ

Диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в спектральном представлении связаны с восприимчивостью материальных уравнений в интегральном представлении Фурье-преобразованием: