ТОП 10:

Свойства двократного інтеграла



1 – Двукратный интергал по всей области D равен сумме двукратный интегралов по областям D1,D2, которые получаются ,если ращбить область D прямой параллельной одной из координатних осей т.е.

2 – Если для функции f(x,y) в области D площадью S m,M – соответственно наименьшее и наибольшее значение этой функции,то двукратный интерграл лежит в пределах

3 – Если функція f(x;y) является непрерывной функцией в области D прощадью S, то двукратный інтеграл вычисляется по формуле

Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле . (105) . Если область определена в прямоугольной системе координат неравенством , то из (105) имеем . (106) . Если область D определена в полярных координатах неравенством , то . (107)

Вычисление площади пространственных поверхностей

Если гладкая однозначная поверхность задана уравнением z = f (x,y), то площадь этой поверхности выражается формулой , (108) где D есть проекция данной поверхности на плоскость хОу. Если поверхность задана уравнением x = f (y, z), то для вычисления площади имеем аналогичную формулу . (109). Однако здесь D есть проекция поверхности на плоскость yOz. Аналогично, если поверхность задана уравнением y = f (x, z), (110) где D – проекция поверхности на плоскость xOz.

Вычисление объема тела

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу область D, вычисляется по формуле . (111) При z = f (x, y) < 0 объем цилиндрического тела вычисляется по формуле ,

т.е. равен модулю двойного интеграла. Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких цилиндрических тел.

 

 

16. Двойной интеграл в полярных координатах. Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат: Двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой 17. Площадь поверхности. Площадь поверхности S выражается с помощью поверхностного интеграла в виде Если поверхность S состоит из нескольких частей Si, то для вычисления поверхностного интеграла можно использовать свойство аддитивности: 18. Тройной интеграл. Определение, геометрический, физический смысл. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой В цилиндрических координатах объем тела равен В сферических координатах, соответственно, используется формула Физические приложения тройных интегралов Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла: 19. Вычисление тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Формула сведения тройного интеграла к повторному:   20. Замена переменных в двойных и тройных интегралах. Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Тройной: Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U: Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: Предполагается, что выполнены следующие условия: 1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными; 2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw; 3. Якобиан преобразования I (u,v,w) отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U. ф. замены переменных в тройном интеграле:    
21. Цилиндрические координаты: Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты ( z ), которая задаёт высоту точки над плоскостью. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=h, (ρ≥0,0≤φ≤2π,−∞<h<+∞) Сферические координаты. Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел r, φ и θ, где r – расстояние от начала координат до точки M ( 0<= r<∞); φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора OM на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох ( 0<=ф<2 п); θ – угол между положительным направлением оси Ozи радиус-вектором точки М ( 0<=θ<= п ). x=rcosφcosθ, y=rsinφcosθ, z=rsinθ, (r≥0, 0≤φ≤2π,−π/2≤θ≤π/2)   22. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода Интеграл 1-го рода берется по длине дуги, 2-го – по координатам. Пусть имеется дуга. Задана ф-ция f(x,y), дугу разобьем на n –частей и точки деления соединим ортами. Составляем интэгральную сумму І= lim 1) dl= dx 2) dl= dt 3) dl= dU Этот интэграл не зависит от способов разбиения дуги на части, а зависит от интэгральной ф-ции. Св-ва 1) -кривол. инт. 2-го рода 2) Вычисление интэграла 2-го рода L: Теор. Пусть дан криволинейный интэграл P(x,y) и Q(x,y) непрерывн. в кажд. т. дуги L, а также непрерывн. ф-ции x(t) b y(t) вместе со своими производными , тогда сущ. предел: A= B= Разбиваем дугу MN на n-частей К преращениям прим. т. Лагранжа Пределы интегральных сумм А и В имеет вид: A= B= 24 Применение криволинейных интегралов первого рода Применение в геометрии Пусть в плоскости Oxy задана кривая AB, и на этой кривой определена функция . 1. Площадь цилиндрической поверхности, определенной функцией , определяют по формуле . 2. Длину кривой AB определяют по формуле . Применение в механике Пусть дана материальная кривая L, плотность на которой меняется по формуле . 1. Масса кривой: . 2. Статические моменты кривой относительно осей Ox и Oy: 3. Координаты центра тяжести : , 4. Моменты инерции кривой относительно осей Ox, Oy и начала координат: 25 Формула Грина Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина где символ указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. Если , то формула Грина принимает вид где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемый или и равный Формула Грина в векторной форме записывается в виде Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат. 26) Условие независимости криволинейных интегралов от пути интегрирования. Теорема: Пусть дан , где P(x,y) и Q(x,y) - непрерывны в области D, ограниченной границей L, и существуют , . Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы (1). Доказательство: 1) Необходимость: Запишем формулу Грина: Предположим в т. М000) |M0 >0 M0 Окружим эту точку контуром L* и получим область D* , но по условию . И это противоречие доказывает теорему.   27) Поверхностный интеграл. Основные определения. Физический смысл. В R3 расположена область V, ограниченная поверхностью σ. Эта поверхность разбита на n частей и их сумма Δσi. Пусть в каждой точке поверхности задан вектор F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k. В каждом элементе Δσi возьмём точки Mi и проведём единичную нормаль ni0 (Mi): Запишем скалярное произведение: (Fi, ni0)=|F|*|ni0|*cos(Fi, ni0) ni0=cos(ni0, OX)i+cos(ni0, OY)j+cos(ni0, OZ)k   Составим интегральную сумму и перейдём к пределу: Fi, ni0)Δσi= (1) Если вектор F скорость течения жидкости протекающей через площадь Δσi за единицу времени, то интеграл (1) – это вся масса жидкости протекающей через всю поверхность σ за единицу времени.   28) Поверхностный интеграл II рода. Запишем в проекциях: cos(n0, OX)d =dydz cos(n0, OY)d =dxdz cos(n0, OZ)d =dxdy Учитывая, что ni0=cos(ni0, OX)i+cos(ni0, OY)j+cos(ni0, OZ)k - можно записать: Его знак зависит от обхода поверхности σ, cos>0 “+” cos<0 “-“ 29) Формула Стокса. Пусть в пространстве R3, есть плоскость V и поверхность σ: z=f(x,y). Задан вектор F, с непрерывными координатами x,y,z. F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k n= cos(n, OX)i+cos(n, OY)j+cos(n, OZ)k cos(n,OX)= cos(n,OY)= cos(n,OZ)=   Для вывода формулы воспользуемся следующей символической записью: = = cos(n, OX)( )-cos(n, OY)( )+cos(n, OZ)( )= = ]dσ=   30) Формула Остроградского. Пусть в пространстве R3, есть плоскость V и поверхность σ: z=f(x,y). σ = σ123 σ1:z=f1(x,y); cos(n,OZ)<0 “-“ σ2:z=f2(x,y); cos(n,OZ)>0 “+“ σ3:z=f3(x,y); cos(n,OZ)=0 Аналогично понимаем: В результате получаем:    
31. Основные определения теории поля. Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке M этой области соответствует определенное число U=U(M), говорят, что в области определено скалярное поле. Если в каждой точке M области пространства соответствует вектор , то говорят, что задано векторное поое. Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Функции скалярного поля:
  • Функция трёх переменных: (скалярное поле на (в) трёхмерном пространстве, называемое иногда[1] пространственным полем).
  • Функция двух переменных: (скалярное поле на (в) двумерном пространстве, называемое иногда[1] плоским полем).
  • В физике и многих других приложениях поле, вообще говоря, зависит также от времени[2]:
. 32. Производная по направлению. Градиент. Возьмем в пространстве, где задано поле U=U(x, y, z), некоторую точку M и найдем скорость изменения функции U при движении точки M в произвольном направлении λ. Пусть вектор λ имеет начало в точке M и направляющие его косинусы. Приращение функции U, возникающее при переходе от точки M к некоторой точке M1 в направлении вектора λ определяется как Или . Тогда Производной от функции U=U(M) в точке M по направлению λ называется предел Градиент. Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x,y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU. gradU — векторная величина. Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке M равна:   33. Ротор, дивергенция векторного поля Дивергенция векторного поля Дивергенция характеризует распределение и интенсивность источников и стоков поля. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке M называется скаляр вида и обозначается . Дивергенцией векторного поля в точке M называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность S, окружающую точку M, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку M (V -> 0) Ротор. Ротором вектора a в точке M называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.   34. Оператор Гамильтона. Векторные операции первого порядка удобно записывать с помощью оператора Гамильтона Применяя оператор Гамильтона, получим дифф. Операции первого порядка: 1. 2. 3.   35. Потенциальное, гармоническое, соленоидальное поля. Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равно нулю. Свойства: 1. В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. 2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т.е. если div a= 0, то существует такое поле b, что a=rot b. Вектор b называется векторным потенциалом поля а. 3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (интенсивность трубки). Векторное поле называется потенциальным, если во всех точках поля ротор равен нулю. Свойства: 1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому полю в этом контуре равна нулю. 2. В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой L с началом в точке M1 и концом в точке M­2 зависит только от положения точек и не зависит от формы кривой. 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x,y,z), т.е. если rot a=0, то существует функция U(x,y,z) такая, что a=gradU. Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным (rot a=0 и div a=0).    
36. Дифференциальные уравнения. Основные определения. Поле направлений. Если искомая функция зависит от одной переменной, то диф. ур. называется обыкновенным диф. ур., если от нескольких – ур. в частных производных. Порядком диф. ур. называется наивысший порядок производной, входящей в данное ур. Диф. ур. 1-го порядка: F (x, y, y/) = 0 Общим решением называется функция y = φ (x, c), где с – константа. Общим интегралом называется функция Φ (x, y, c) = 0. Частным решением называется решение, записанное в виде y0 = φ (x0, c0). Поле направлений — геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для системы в симметричной форме: 37. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f (x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f (x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов, перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y): Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения. Обозначив , запишем уравнение в форме: Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение: Вычисляя интегралы, получаем выражение .   37. Составление дифференциальных уравнений по его решению.   Для того, чтобы по известному общему решению восстановить дифференциальное уравнение, нужно исключить С из равенств: Полученное соотношение и есть то дифференциальное уравнение, для которого служит общим решением. Эту теорему примем без доказательств. Пример. Пусть дана функция , где С – произвольная постоянная. Требуется определить то дифференциальное уравнение, для которого она служит общим решением. Решение. Используем теорему Искомым дифференциальным уравнением будет . 39. Однородные дифференциальные уравнения. Функция f(x, y) называется однородной k-ого порядка, если существует такое число λ, что выполняется соотношение f(λx, λy) = xk f(x, y). Дифференциальное уравнение y/ = f(x, y) называется однородным, если f(x, y) – однородная функция нулевого измерения. Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной: 40. Уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнением, приводящимся к однородному, называется дифференциальное уравнение вида Заменой u = y – y0, v = x – x0 это уравнение приводится к однородному уравнению Здесь x0 и y0 — единственное решение линейной системы    

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.200.222.93 (0.007 с.)