Типы правых частей неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, их решение. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Типы правых частей неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, их решение.



 

 

 

51. Системы дифференциальных уравнений. Основные определения. Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него. Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y (x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести кквадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Общий вид: Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r (x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняетсяпринцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.     52. Метод исключения решений системы дифференциальных уравнений. Системы дифференциальных уравнений n –го порядка можно решать сведением к уравнению n –го порядка. Такой метод решения систем называется методом исключения. Рассмотрим, например, нормальную систему дифференциальных уравнений 2 –го порядка Исключим функцию y 2. Для этого сначала выразим y 2 через x и y 1 из первого уравнения системы, затем продифференцируем по x первое уравнение системы, заменяя y 2 полученным для него выражением, а производную y 2 − правой частью второго уравнения системы: Получили обыкновенное дифференциальное уравнение 2 –го порядка   Таким же образом решают методом исключения произвольные системы n –го порядка: дифференцируют уравнения системы и, последовательно исключая функции y 2,..., yn и их производные, сводят систему к одному дифференциальному уравнению n –го порядка относительно y 1. 53. Метод Эйлера решения системы дифференциальных уравнений. Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Ломаная Эйлера (красная линия) — приближённое решение в пяти узлах задачи Коши и точное решение этой задачи (выделено синим цветом)     Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка где функция определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале . На этом интервале введем узлы Приближенное решение в узлах , которое обозначим через определяется по формуле Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 54. Метод суперпозиций решений системы дифференциальных уравнений. Принцип суперпозиции: Если y 1(x) и y 2(x) — решения неоднородных линейных уравнений L (y) = f 1(x) и L (y) = f 2(x), то их сумма y (x) = y 1(x) + y 2(x) является решением уравнения L (y) = f 1(x) + f 2(x).   57. Признак Даламбера сходимости ряда.   Если для числового ряда существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится. Доказательство: 1. , тогда существует , существует , для любого . Ряд из сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из сходится (по признаку сравнения). 2. , тогда существует . для любого . Тогда не стремится к нулю и ряд расходится.   58. Радикальный признак Коши сходимости ряда. Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится. Условие радикального признака равносильно следующему: То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:
Если для ряда , то если ряд сходится, если ряд расходится, если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; просмотров: 253; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 100.26.35.111 (0.074 с.)