51. Системы дифференциальных уравнений. Основные определения.
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами).
Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,  не является дифференциальным уравнением.
Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.
Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y (x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные  до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести кквадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.
В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.
Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Общий вид:
Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r (x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняетсяпринцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.
52. Метод исключения решений системы дифференциальных уравнений.
Системы дифференциальных уравнений n –го порядка можно решать сведением к уравнению n –го порядка. Такой метод решения систем называется методом исключения.
Рассмотрим, например, нормальную систему дифференциальных уравнений 2 –го порядка
Исключим функцию y 2. Для этого сначала выразим y 2 через x и y 1 из первого уравнения системы, затем продифференцируем по x первое уравнение системы, заменяя y 2 полученным для него выражением, а производную y 2 − правой частью второго уравнения системы:
Получили обыкновенное дифференциальное уравнение 2 –го порядка
Таким же образом решают методом исключения произвольные системы n –го порядка: дифференцируют уравнения системы и, последовательно исключая функции y 2,..., yn и их производные, сводят систему к одному дифференциальному уравнению n –го порядка относительно y 1.
53. Метод Эйлера решения системы дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ломаная Эйлера (красная линия) — приближённое решение в пяти узлах задачи Коши и точное решение этой задачи (выделено синим цветом)
Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка
где функция  определена на некоторой области  . Решение разыскивается на интервале  . На этом интервале введем узлы
Приближенное решение в узлах  , которое обозначим через  определяется по формуле
Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
54. Метод суперпозиций решений системы дифференциальных уравнений.
Принцип суперпозиции: Если y 1(x) и y 2(x) — решения неоднородных линейных уравнений L (y) = f 1(x) и L (y) = f 2(x), то их сумма y (x) = y 1(x) + y 2(x) является решением уравнения L (y) = f 1(x) + f 2(x).
57. Признак Даламбера сходимости ряда.
Если для числового ряда
существует такое число  ,  , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство
то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера
то ряд расходится.
Доказательство:
1.  , тогда существует  , существует  , для любого  . Ряд из  сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из  сходится (по признаку сравнения).
2.  , тогда существует  .  для любого  . Тогда  не стремится к нулю и ряд расходится.
58. Радикальный признак Коши сходимости ряда.
Если для числового ряда
с неотрицательными членами существует такое число  ,  , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  , то данный ряд сходится.
Условие радикального признака равносильно следующему:
То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:
Если для ряда
 , то
если  ряд сходится,
если  ряд расходится,
если  вопрос о сходимости ряда остается открытым.
|
|
