Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл. Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z=ƒ(х;у). Разобьем область D на n «элементарных областей» площади которых обозначим через ΔSi, а диаметры (наи большее расстояние между точками области) - через di(см. рис. 3). В каждой области Di выберем произвольную точку Mi(xi;yi), умножим значение ƒ(хi;уi) функции в этой точке на ΔSi и составим сумму всех таких произведений: Эта сумма называется интегральной суммой функции ƒ(х;у) в области D. Рассмотрим предел интегральной суммы (7.1), когда n стремится к бесконечности таким образом, что maxdi -> 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции ƒ(х;у) по области D и обозначается Таким образом, двойной интеграл определяется равенством В этом случае функция ƒ(х;у) называется интегрируемой в области D; D - область интегрирования; х и у - переменные интегрирования; dxdy (или dS) - элемент площади. Для всякой ли функции ƒ(х;у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства. Теорема 7.1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция z=ƒ(х; у) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области. Замечания. 1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций. 2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллель ными координатным осям (см. рис. 4). При этом равенство (7.2) можно записать в виде 7.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью снизу - замкнутой областью D плоскости Оху, с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 5). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z=ƒ(х;у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Di, площади которых равны Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z=ƒ(х;у) (на рис. 5 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через ∆Vi, получим Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку Mi(xi;,yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием D; и высотой zi=ƒ(хi;уi). Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔVi цилиндрического столбика, т. е. . Тогда получаем: Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» Di. Естественно принять предел суммы (7.3) при условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (n -> ∞), а каждая площадка стягивается в точку (maxdi-> 0), за объем V цилиндрического тела, т. е. или, согласно равенству (7.2), Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластинки Требуется найти массу m плоской пластинки D, зная, что ее поверхностная плотность =(х;у) есть непрерывная функция координат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей площади которых обозначим через ∆Si. В каждой области D; возьмем произвольную точку Мi(хi;уi) и вычислим плотность в ней: Если области Di достаточно малы, то плотность в каждой точке (х;у) є Di мало отличается от значения (xi;yi). Считая приближенно плотность в каждой точке области Di постоянной, равной (xi;yi), можно найти ее массу Так как масса m всей пластинки D равна то для ее вычисления имеем приближенное равенство Точное значение массы получим как предел суммы (7.5) при условии n ->∞ и max di -> 0: или, согласно равенству (7.2), Итак, двойной интеграл от функции (x;у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию (х;у) считать плотностью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла. 7.3. Основные свойства двойного интеграла Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. Часть 1, п. 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислимосновные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми. 1. 2. 3. Если область D разбить линией на две област и D1 и D2 такие, что а пересечение D1 и D состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 6), то 4.Если в области D имеет место неравенство ƒ(х;у) >=0, то и Если в области D функции ƒ(х; у) и (х; у) удовлетворяютнеравенству 5. 6. Если функция ƒ(х; у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D. 7. Если функция ƒ(х;у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (хо;уо), что S. Величину называют средним значением функции ƒ(х;у) в области D. 7.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов. Пусть требуется вычислить двойной интеграл где функция ƒ(х;у)>=0 непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 7.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=ƒ(х;у). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. Часть 1, (41.6)) было показано, что где S(x) - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, a x=a,x=b - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=а и х=b и кривыми у=1(x) и у=2(х), причем функции 1(x) и 2(х) непрерывны и таковы, что 1(x) ≤ 2(х) для всех х є [а;b] (см. рис. 7). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках. Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох: х =const, где х є [а; b]. В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями z=ƒ(х;у), где х=const, z=0, у=1(x) и у=2(х) (см. рис. 8). Площадь S(х) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найдентак: С другой стороны, в п. 7.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции ƒ(х;у) >=0 по области D. Следовательно, Это равенство обычно записывается в виде Формула (7.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (7.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции ƒ(х; у) по области D. При этом называется внутренним интегралом. Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b. Если же область D ограничена прямыми y=c и y=d(c<d), кривыми x=Ψ1(у)и х=Ψ2(у)> причем Ψ1(у)≤Ψ2(у) для всех у є [с;d], т. е. область D - правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у=const, аналогично получим: Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным. Замечания. 1. Формулы (7.7) и (7.8) справедливы и в случае, когда ƒ(х;у)<0, (x;y) e D. 2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (7.7), так и по формуле (7.8). 3. Если область D не является правильной ни «по х», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу. 4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
Пример 7.1. Вычислить где область D ограничена линиями у =x2, у=0, х+у-2=0. Решение: На рисунке 9 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (7.8): Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (7.7). Но для этого область D следует разбить на две области: D1 и D2. Получаем:
Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов. Теорема о среднем значении для двойного интеграла: Если функция f(P) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то найдется по крайней мере одна точка Pc в области D такая, что будет справедлива формула , где S– площадь области D.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 538; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.233.198 (0.009 с.) |