Функции нескольких переменных. Предел последовательности. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность ФНП.

Функции нескольких переменных. Предел последовательности. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность ФНП.

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности стремятся или приближаются с ростом номера.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела только по одной из переменных. Из этого возникает понятие повторного предела. В зависимости от последовательности взятия пределов будут различные повторные пределы.

Число А называется пределом функции F(M), где M(x1,x2,x3,...,xn)-точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10, x20,..., xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого e>0 существует такое число d>0 (d-эпсилон), что из условия |MM0|<d, где |MM0|-расстояние между точками М и М0, следует |F(x1,x2,..xn)-A|<d.

Частное и полное приращения функции нескольких переменных. Частные производные и частные дифференциалы.

Пусть задана функция z = f(х, у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим

∆х z: ∆х z = f(x + ∆x, y) – f(х, у).

Наконец, если аргументу х дать приращение ∆х, а аргументу у – приращение ∆у, то получим полное приращение функции z:

∆ z=f(x+∆x, y+∆у)–f(х, у).

Частная производная-производная по одной из переменных в функции нескольких переменных, только в ней все остальные переменные принимаются за константы, а потом находится производная. С дифференциалом то же самое, но только находится интеграл.

Дифференцируемость функции. Полный дифференциал.

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества.

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения переменных, называется полным дифференциалом. dZ или df(x,y,z...)

Дифференцирование сложной ФНП. Производные неявных функций.

Теорема.Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t) и у = у(t) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D. Пусть функция u дифференцируема в точке M0(x0, y0, z0), а функции х(t) и у(t) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Доказательство.Так как u дифференцируема по условию в точке (x0, y0), то её полное приращение представляется в виде

.

Разделив это соотношение на , получим:

.

Перейдём к пределу при и получим формулу

.

Замечание 1.Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции u по переменной х

или .

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F(x, y) = 0, где y = y(x) (см. тему № 3 и пример 14).

Имеем: . Отсюда . (6.1)

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

;

;

;

.

Как видим, ответы совпали.

Задание. Найти вторую производную неявной функции .

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем :

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство еще раз:

Подставив вместо найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную :

Ответ.

 

 

Производная по направлению.

Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

6. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=F(x,y).

Касательная плоскость в точке гладкой поверхности — это плоскость, имеющая максимальный порядок соприкосновения с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая касательные ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.

F(x,y,z) = √(x^2+y^2) - z
dF/dx = x/sqrt(x^2 + y^2) = -1/sqrt(10) = - sqrt(10)/10
dF/dy = y/sqrt(x^2 + y^2) = -3/sqrt(10) = -3sqrt(10)/10
dF/dz = -1
Уравнение плоскости:
(dF/dx)(x - x0) + (dF/dy)(y - y0) + (dF/dz)(z - z0)
(-sqrt(10)/10)(x + 1) - (3sqrt(10)/10)(y + 3) - (z - sqrt(10)) =
(-sqrt(10)/10)x - (3sqrt(10)/10)y - z - (sqrt(10)/10) - (9sqrt(10)/10) + sqrt(10) =
-z - (-sqrt(10)/10)x - (3sqrt(10)/10)y
z = - (-sqrt(10)/10)x - (3sqrt(10)/10)y

Формула Грина.

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по односвязной области D, ограниченной этим контуром.

- основной вид

-первая формула

- вторая формула, или Теорема Грина

- третья формула Грина

Ряды Тейлора и Маклорена.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную суммустепенных функций.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

То есть, рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида [2]

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена











 

Интеграл ФКП. Теорема Коши.

Теорема Коши позволяет также установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее определения и граничными значениями. При этом имеет место следующее соотношение (рис.19):
	(52)
Рис.19

Формула (52) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:

(53)

Формула Коши может быть расширена для производных аналитической функции , и так как входит в интеграл (52) как параметр, то на основе свойств интегралов, зависящих от параметра, после -кратного дифференцирования, можно получить

(54)

Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52), (54) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение "остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность .

Пример 3-9. Вычислить интеграл от функции по контуру (рис.20).

Решение. Точка , в которой функция имеет особенность, в отличие от примера 4-1, находится внутри окружности . Представим интеграл в форме (52):

 

Формула Коши.

Пусть — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция — голоморфна в и — точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:

Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри , и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.(Голоморфная функция-функция комплексного числа, кусочно-гладкая- функция вещественного числа)

Элементарные ФКП: функция Тейлора, тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные тригонометрические функции, логарифмические функции, формула Коши.

Функции нескольких переменных. Предел последовательности. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность ФНП.

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности стремятся или приближаются с ростом номера.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела только по одной из переменных. Из этого возникает понятие повторного предела. В зависимости от последовательности взятия пределов будут различные повторные пределы.

Число А называется пределом функции F(M), где M(x1,x2,x3,...,xn)-точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10, x20,..., xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого e>0 существует такое число d>0 (d-эпсилон), что из условия |MM0|<d, где |MM0|-расстояние между точками М и М0, следует |F(x1,x2,..xn)-A|<d.