Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Несобственный интеграл первого рода.
Определённый интеграл. Определенный интеграл обозначается символом Формула Ньютона Лейбница Свойства:
Несобственный интеграл первого рода.
Обозначение
Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной: Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода: а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения. Критерий Коши. Если функция интегрируема на отрезке > , то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного числа >0 существовало число такое, что для любых двух чисел > и > , выполнялось неравенство <
Несобственный интеграл второго рода. Обозначение Пусть на полуинтервале задана функция , интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке . В точке эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию она определена при . Эта функция может иметь предел при (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от по всему полуинтервалу и обозначать в точности: Определение. Пусть функция удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл значение которого равняется левостороннему пределу Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения. Двойной интеграл. Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости 0xy. Разобьём область D произвольным образом на элементарные ячейки , в каждой из которых зафиксируем точку . Составим сумму , называемую интегральной, которая соответствует данному разбиению D на части и данному выбору точек . Если существует предел последовательности интегральных сумм при –диаметр ячеек и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается . Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратных (повторных) интегралов. Пусть область D ограничена кривыми , , , , причем , а функции непрерывны на отрезке . Прямая, параллельная оси 0y, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Такую область D называют простой и правильной в направлении оси 0y. Тогда , причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y, а полученный результат интегрируем по x. Рис. 7 Если на отрезке верхняя или нижняя граница области D задаются несколькими аналитическими выражениями, то область D следует разбить на количество областей, равное числу аналитических выражений верхней (или нижней) границы области (рис. 8), причём двойной интеграл по области D в этом случае равен сумме интегралов по полученным областям. Рис. 8 В том случае, когда область D ограничена кривыми , , непрерывными на , прямыми и , область D является простой и правильной в направлении оси 0x. Двойной интеграл по такой области вычисляют по формуле: . Рис. 9 Если область D правильна в направлении обеих координатных осей, то двойной интеграл по такой области можно вычислять в любом порядке, то есть . Двойной интеграл в полярных координатах. Пусть область D ограничена линией и лучами и , где и – полярные координаты точки на плоскости, связанные с её декартовыми координатами x и y соотношениями , . В этом случае . Замечание. Если область D в декартовых координатах задаётся уравнением, содержащим бином x2+y2, например, x2+y2=R2, x2+y2=x, Рис. 11 x2+y2=x2-y2 и т.д., то вычисление двойного интеграла по такой области удобнее производить в полярных координатах.
Определение Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1). Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1). В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осейO x, O y и O z, соответственно.
Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как Таким образом, по определению, где − единичный вектор касательной к кривой C. Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: где . Если кривая C лежит в плоскости O xy, то полагая R = 0, получаем Тройной интеграл. 3, , ,
iÎVi, i=(α, δ, γ), l=max r(Vi);
i i = Если существует такой предел, который не зависит от способа разбиения области и от выбора точки i, то такой предел и есть тройной интеграл по области V.
Вычисление. Свойства. 1) V=V1ÈV2ÈV3È…ÈVn; 2) Теорема о среднем.
Определённый интеграл. Определенный интеграл обозначается символом Формула Ньютона Лейбница Свойства:
Несобственный интеграл первого рода.
Обозначение
Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной: Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода: а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения. Критерий Коши. Если функция интегрируема на отрезке > , то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного числа >0 существовало число такое, что для любых двух чисел > и > , выполнялось неравенство <
|
||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 301; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.76.193 (0.007 с.) |