Несобственный интеграл первого рода.

Определённый интеграл.

Определенный интеграл обозначается символом

Формула Ньютона Лейбница

Свойства:

 

Несобственный интеграл первого рода.

 

Обозначение

 

 

Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода:

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

Критерий Коши. Если функция интегрируема на отрезке > , то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного числа >0 существовало число такое, что для любых двух чисел > и > , выполнялось неравенство

<

 

Несобственный интеграл второго рода.

Обозначение

Пусть на полуинтервале задана функция , интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке . В точке эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию

она определена при . Эта функция может иметь предел при (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от по всему полуинтервалу и обозначать в точности:

Определение. Пусть функция удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

значение которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.

Двойной интеграл.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости 0xy.

Разобьём область D произвольным образом на элементарные ячейки , в каждой из которых зафиксируем точку . Составим сумму , называемую интегральной, которая соответствует данному разбиению D на части и данному выбору точек .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при –диаметр ячеек и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратных (повторных) интегралов. Пусть область D ограничена кривыми , , , , причем , а функции непрерывны на отрезке . Прямая, параллельная оси 0y, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Такую область D называют простой и правильной в направлении оси 0y. Тогда , причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y, а полученный результат интегрируем по x.

Рис. 7

Если на отрезке верхняя или нижняя граница области D задаются несколькими аналитическими выражениями, то область D следует разбить на количество областей, равное числу аналитических выражений верхней (или нижней) границы области (рис. 8), причём двойной интеграл по области D в этом случае равен сумме интегралов по полученным областям.

Рис. 8

В том случае, когда область D ограничена кривыми , , непрерывными на , прямыми и , область D является простой и правильной в направлении оси 0x. Двойной интеграл по такой области вычисляют по формуле: .

Рис. 9

Если область D правильна в направлении обеих координатных осей, то двойной интеграл по такой области можно вычислять в любом порядке, то есть .

Двойной интеграл в полярных координатах. Пусть область D ограничена линией и лучами и , где и – полярные координаты точки на плоскости, связанные с её декартовыми координатами x и y соотношениями , . В этом случае .

Замечание. Если область D в декартовых координатах задаётся уравнением, содержащим бином x²+y², например, x²+y²=R², x²+y²=x,

Рис. 11

x²+y²=x²-y² и т.д., то вычисление двойного интеграла по такой области удобнее производить в полярных координатах.

 

Определение

Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.

Рис.1		Рис.2

Определение

Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осейO x, O y и O z, соответственно.

Рис.1		Рис.2

Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

где .

Если кривая C лежит в плоскости O xy, то полагая R = 0, получаем

Тройной интеграл.

³, , ,

 

_iÎV_i, _i=(α, δ, γ), l=max r(V­_i­);

 

_i ­_i =

Если существует такой предел, который не зависит от способа разбиения области и от выбора точки _i, то такой предел и есть тройной интеграл по области V.

 

Вычисление.

Свойства.

1) V=V₁ÈV₂ÈV₃È…ÈV_n;

2) Теорема о среднем.

 

 

Определённый интеграл.

Определенный интеграл обозначается символом

Формула Ньютона Лейбница

Свойства:

 

Несобственный интеграл первого рода.

 

Обозначение

 

 

Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода:

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

Критерий Коши. Если функция интегрируема на отрезке > , то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного числа >0 существовало число такое, что для любых двух чисел > и > , выполнялось неравенство

<