Понятие неопределенного интеграла

Глава II

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие неопределенного интеграла

 

Дадим несколько первых вводных определений, более подробное изложение которых имеется в любом учебнике математического анализа (см. список рекомендуемой литературы в конце пособия).

ИНТЕГРИРОВАНИЕ – одно из основных понятий математического анализа, обратное действию дифференцирования или вычислению производных. Так как в случае одной переменной дифференциал и производная связаны формулой df = f'dx, то вычисление дифференциала фактически сводится к вычислению производной. Действие, обратное вычислению производной, принято называть нахождением первообразной. Совокупность всех первообразных, соответствующих данной функции, и называется неопределенным интегралом. Перейдем к точным определениям. Всюду ниже под (a,b) понимается интервал, полупрямая или вся действительная ось.

Определение 1. Пусть функция f(x) задана на (a,b) и существует дифференцируемая на (a,b) функция F(x), для которой всюду на (a,b) выполняется равенство F'(x) = f(x). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на (a,b).

Определение 2. Совокупность всех первообразных на (a,b) для функции f(x) на (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на (a,b) и обозначается .

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение f(x)dx – подинтегральным выражением и f(x) - подынтегральной функцией. Читается: «интеграл от эф по дх».

Оказывается, достаточно найти одну первообразную, чтобы описать всю совокупность первообразных или неопределенный интеграл. Корректность этого высказывания подтверждает нижеследующая теорема.

Теорема 1. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

►Действительно, пусть F1 и F2- две первообразные одной функции f(x) и G = F1- F2 на (a,b). Тогда из определения 1 имеем G' = 0 всюду на (a,b). Поэтому из известной теоремы Лагранжа (теорема о среднем) вытекает G(z) - G(w) = =G'(s)(z-w), где точка s лежит между произвольными точками z и w, также лежащими на (a,b). Поэтому G(z) = G(w) или F1(z)- F2(z) = F1(w)- F2(w). Следовательно, F1(z)- F2(z) = С – const постоянна всюду на (a,b). Что и требовалось доказать. ◄

Таким образом, = F(x) + C, где С некоторая постоянная, а F(x)- некоторая первообразная для функции f(x). Поэтому достаточно найти только одну первообразную, чтобы вычислить неопределенный интеграл.

Всегда ли существует первообразная? Или, иначе - любую ли функцию можно проинтегрировать? Конечно, не любую. Не вдаваясь в подробности, заметим лишь, что для непрерывных на отрезке функций неопределенный интеграл существует всегда. Желающих более подробно ознакомиться с вопросом существования отсылаем за справками к литературе см. [2, 17]. Тем не менее даже если и существует первообразная, она не всегда может выражаться через элементарные функции, такие как показательная, логарифмическая, синус, косинус и др. В том случае, когда первообразная выражается через основные элементарные функции, говорят, что интеграл берется в конечном виде или элементарных функциях. Часто используемым первообразным, которые не берутся в конечном виде, пришлось придумать новые названия. Например, функция

si x:= называется интегральным синусом.

Все основные элементарные функции в области, где они определены, конечно, интегрируемы. Прямо из определения получаем нижеследующую таблицу интегралов. Все результаты легко проверяются дифференцированием.

 

Минимальная таблица основных неопределенных интегралов

0. = C 5. = ln + C (x 0)

1. =xa+1/a+1 + C (a -1) 6.

2. = ax/lna + C (0<a 1) 7.

3. = sin(x) + C 8.

4. = - cos(x) + C 9.

10. 11. .

 

Эта таблица достаточно невелика, легка для запоминания и с ее помощью можно получить практически все интегралы от функций, берущихся в конечном виде. Желательно, чтобы читатель получил ее совершенно самостоятельно, опираясь на знание производных элементарных функций.

Упражнение 1. Проверить минимальную таблицу интегралов дифференцированием.

 

Метод замены

 

Метод (правило) замены, или подстановки, является одновременно самым эффектным и эффективным методом интегрирования. Основу метода составляет следующее простое утверждение.

Теорема 2. Пусть функция определена и дифференцируема на (a,b) и на (a,b), причем a=j(a), b=j(b). Тогда .

 

►Достаточно опять воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и учесть, что по определению первообразной G`(t) = g(t). Теорема 2 доказана. ◄

Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл .

Замечание. Теорема 2 остается справедливой если вместо (a,b) взять некоторое множество Х, представляющее из себя сегмент, полуинтервал или всю прямую. Естественно, тогда нужно заменить и интервал (a,b) на образ множества Х при отображении и потребовать существование на этом образе первообразную G(t).

В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию , что имеет место равенство , причем функция g(t) легко интегрируется, т. е. интеграл просто вычисляется. Доказанная выше теорема 2 позволяет написать нам равенство = Этот прием вычисления интеграла и называется методом замены, или подстановки, переменной.

Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значительной мере определяется искусством вычислителя, которое может прийти только с практикой. Рассмотрим несколько простых примеров (в прямых скобках указаны заменяемые функции и их дифференциалы).

1. =

=-ln +C= -ln|cosx| +C.

При получении определенного навыка это решение записывают так

-ln|cosx| +C.

Этот прием называется внесением под знак дифференциала. Понятно, что это тот же метод замены, только роль переменной здесь играет cosx.

Аналогично

2.

Внесением под знак дифференциала решаются следующие два примера

3.

4. .

5.

В этом интеграле лучше сделать подстановку: , ,

, так что

.

Перейдем теперь к переменной x, полагая и выражая и через . Окончательно

.

6.

Здесь удобнее применить гиперболическую подстановку. Останавливаясь для примера, на нижнем знаке, положим: (при x и t>0),

. Интеграл приведется просто к

Для перехода к x вспомним выражение обратной для гиперболического косинуса функции

,

причем в постоянную С мы включаем и слагаемое .

7. , , .

В данном случае одинаково просто приводят к цели и тригонометрическая и гиперболическая подстановки. Для примера, во втором интеграле возьмем , тогда и

8.

Подстановка: приводит этот интеграл к такому

,

но

,

так что окончательно

.

В силу дальнейшего частого использования правила замены, мы не приводим более примеров на это правило, тем не менее читателю рекомендуется решить несколько закрепляющих примеров.

Упражнение 4. Для каждого из 4-х приведенных ниже интегралов существует подстановка сводящая его к табличному. Укажите для каждого интеграла нужную подстановку

,

.

 

Интеграл от произвольной функции с помощью свойств и правил интегрирования сводят к рациональной функции. По схеме, изложенной в теореме 5, проводят интегрирование рациональной дроби. Этот прием и называется методом рационализации подынтегрального выражения.

Можно рассматривать рациональные функции от двух переменных (вполне аналогично можно рассматривать рациональные функции от трех и более переменных).

Определение 5. Рациональной функцией или рациональной дробью R(x,y) от двух переменных (x,y) называют отношение двух алгебраических полиномов

_.

_.

.

 

Так же, как и для одной переменной, множество рациональных дробей от двух переменных обладает рядом почти очевидных свойств.

 

Свойства рациональных дробей

Глава II

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие неопределенного интеграла

 

Дадим несколько первых вводных определений, более подробное изложение которых имеется в любом учебнике математического анализа (см. список рекомендуемой литературы в конце пособия).

ИНТЕГРИРОВАНИЕ – одно из основных понятий математического анализа, обратное действию дифференцирования или вычислению производных. Так как в случае одной переменной дифференциал и производная связаны формулой df = f'dx, то вычисление дифференциала фактически сводится к вычислению производной. Действие, обратное вычислению производной, принято называть нахождением первообразной. Совокупность всех первообразных, соответствующих данной функции, и называется неопределенным интегралом. Перейдем к точным определениям. Всюду ниже под (a,b) понимается интервал, полупрямая или вся действительная ось.

Определение 1. Пусть функция f(x) задана на (a,b) и существует дифференцируемая на (a,b) функция F(x), для которой всюду на (a,b) выполняется равенство F'(x) = f(x). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на (a,b).

Определение 2. Совокупность всех первообразных на (a,b) для функции f(x) на (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на (a,b) и обозначается .

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение f(x)dx – подинтегральным выражением и f(x) - подынтегральной функцией. Читается: «интеграл от эф по дх».

Оказывается, достаточно найти одну первообразную, чтобы описать всю совокупность первообразных или неопределенный интеграл. Корректность этого высказывания подтверждает нижеследующая теорема.

Теорема 1. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

►Действительно, пусть F1 и F2- две первообразные одной функции f(x) и G = F1- F2 на (a,b). Тогда из определения 1 имеем G' = 0 всюду на (a,b). Поэтому из известной теоремы Лагранжа (теорема о среднем) вытекает G(z) - G(w) = =G'(s)(z-w), где точка s лежит между произвольными точками z и w, также лежащими на (a,b). Поэтому G(z) = G(w) или F1(z)- F2(z) = F1(w)- F2(w). Следовательно, F1(z)- F2(z) = С – const постоянна всюду на (a,b). Что и требовалось доказать. ◄

Таким образом, = F(x) + C, где С некоторая постоянная, а F(x)- некоторая первообразная для функции f(x). Поэтому достаточно найти только одну первообразную, чтобы вычислить неопределенный интеграл.

Всегда ли существует первообразная? Или, иначе - любую ли функцию можно проинтегрировать? Конечно, не любую. Не вдаваясь в подробности, заметим лишь, что для непрерывных на отрезке функций неопределенный интеграл существует всегда. Желающих более подробно ознакомиться с вопросом существования отсылаем за справками к литературе см. [2, 17]. Тем не менее даже если и существует первообразная, она не всегда может выражаться через элементарные функции, такие как показательная, логарифмическая, синус, косинус и др. В том случае, когда первообразная выражается через основные элементарные функции, говорят, что интеграл берется в конечном виде или элементарных функциях. Часто используемым первообразным, которые не берутся в конечном виде, пришлось придумать новые названия. Например, функция

si x:= называется интегральным синусом.

Все основные элементарные функции в области, где они определены, конечно, интегрируемы. Прямо из определения получаем нижеследующую таблицу интегралов. Все результаты легко проверяются дифференцированием.

 

Минимальная таблица основных неопределенных интегралов

0. = C 5. = ln + C (x 0)

1. =xa+1/a+1 + C (a -1) 6.

2. = ax/lna + C (0<a 1) 7.

3. = sin(x) + C 8.

4. = - cos(x) + C 9.

10. 11. .

 

Эта таблица достаточно невелика, легка для запоминания и с ее помощью можно получить практически все интегралы от функций, берущихся в конечном виде. Желательно, чтобы читатель получил ее совершенно самостоятельно, опираясь на знание производных элементарных функций.

Упражнение 1. Проверить минимальную таблицу интегралов дифференцированием.