Интегрирование квадратичных иррациональностей

(Подстановки Эйлера)

 

Рассмотрим интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида , где а, bи с – некоторые постоянные. Функцию такого вида будем называть квадратичной иррациональностью. При этом мы, конечно, считаем, что квадратичный трехчлен ax²+bx+c не имеет равных корней (иначе корень из этого трехчлена может быть заменен рациональным выражением).

Мы докажем, что интеграл от вышеприведенной функции всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера.

Сначала рассмотрим случай, когда квадратичный трехчлен ax² + bx + cимеет комплексные корни. В этом случае знак квадратного трехчлена совпадает со знаком а, и поскольку по смыслу квадратный трехчлен (из которого извлекается квадратный корень) положителен, то а >0. Таким образом, мы имеем право сделать следующую подстановку

.

Эту подстановку обычно называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует интеграл от функции для рассматриваемого случая. Возводя в квадрат обе части равенства , получим, ,так что

.

Таким образом, в правой части равенства

,

мы получаем интеграл от рациональной дроби.

Рассмотрим теперь случай, когда квадратный трехчлен и меет несовпадающие вещественные корни x₁ и х₂.

В таком случае ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂). Докажем, что в этом случае интеграл от функции рационализируется посредством подстановки

,

называемой обычно третьей подстановкой Эйлера. В самом деле, так как

ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂), то

и, следовательно,

.

Таким образом, после подстановки все переменные функции R выражаются через рациональные функции от t. В силу третьего свойства рациональных дробей мы снова получаем рациональную дробь от t.

Этими двумя подстановками рационализируется любая функция вида , но при c > 0 возможна вторая подстановка Эйлера.

Упражнение 11. (Вторая подстановка Эйлера) Рационализировать интеграл

подстановкой , при условии c >0

 

Рассмотрим несколько примеров на Эйлеровы подстановки.

 

1. .

К вычислению интеграла можно применить I подстановку, хотя второй основной интеграл

нам уже известен из элементарных соображений, но – для тренировки - мы все же к нему применим эйлеровы подстановки.

Если воспользоваться сначала III подстановкой , то

,

и

.

Так как имеет место тождество

то этот результат лишь формой разнится от известного нам.

Читателю и впредь следует считаться с возможностью для интеграла получаться в разных формах, в зависимости от примененного для его вычисления метода.

Если к тому же интегралу применить II подстановку

то аналогично получим

.

Здесь мы сталкиваемся с другим любопытным обстоятельством, этот результат годится отдельно для промежутка и для промежутка , ибо в точке x=0 выражение

лишено смысла. Пределы этого выражения при и при различны: они равны соответственно p и -p; выбирая для упомянутых промежутков различные же значения постоянной C так, чтобы второе из них было на 2p больше первого, можно составить функцию, непрерывную во всем промежутке , если принять за ее значение при x=0 общий предел слева и справа.

И на этот раз мы получили прежний результат лишь в другой форме, ибо имеют место тождества

.

2. .

Сначала применим I подстановку

.

Если подставить сюда , то окончательно получим

Применим теперь II подстановку ,

.

Остается подставить сюда после очевидных упрощений получим

 

Это выражение хотя и разнится от ранее полученного по форме, но при

С`=C+3/2 отождествляется с ним.

3.

Так как корни подкоренного выражения вещественны, то можно применить III подстановку здесь и .

Имеем

,

и

,

куда еще нужно подставить для получения окончательного результата

Воспользовавшись формулой для суммы арктангенсов, а также очевидным соотношением

(при "a),

можно придать результату более простую форму

(где )

Если к тому же интегралу применить II подстановку

то получим, что

при Этот результат годится в отдельности для промежутка и для промежутка легко сообразить, что изменяя значения постоянной С` при переходе x через 0, можно сделать его пригодным во всем промежутке . Наконец, если преобразовать его по формуле для суммы арктангенсов, то он отождествится с предыдущим результатом.

4.

I подстановка:

Имеем

Таким образом, вопрос сводится к вычислению элементарного интеграла; в результате надлежит подставить