Проверка гипотез равенства математических ожиданий двух случайных величин (большие независимые выборки).

Обозначим через и объемы больших () независимых выборок, по которым найдены соответствующие выборочные средние и . Генеральные дисперсии и известны.

Требуется по выборочным средним и при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т.е.: .

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки. Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина: . (27.1)

Значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, обозначается через _набл.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Сформулируем правила проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия _набл (21.2)

и по таблице функции Лапласа (приложение №2) найти критическую точку _кр из равенства Ф( _кр)= .

Если | _набл |< _кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | _набл |> _кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку _кр по таблице функции Лапласа из равенства Ф( _кр)= .

Если _набл < _кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если _набл > _кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку _кр по правилу 2.

Если _набл > – _кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если _набл < – _кр – нулевую гипотезу отвергают.

 

 

85. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки). Пусть генеральные совокупности и распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. При этом условии по выборкам малого объема нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий. По этой причине метод сравнения средних, изложенный в § 27.5, применить нельзя.

Однако если предположить, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой, то можно построить критерий (Стьюдента) сравнения средних. Если же нет оснований считать дисперсии одинаковыми, прежде чем сравнивать средние, следует, пользуясь критерием Фишера – Снедекора (§ 27.4), предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Таким образом, требуется проверить нулевую гипотезу (или ), т.е. требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние и , найденные по независимым малым выборкам объемов и .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

. (27.3)

Сформулируем правила проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия

_набл (27.4)

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы найти критическую точку _{двуст.кр} .

Если | _набл|< _{двуст.кр} – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если | _набл|> _{двуст.кр} – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку _{правост.кр} по таблице приложения 6 по уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы, и числу степеней свободы .

Если _набл < _{правост.кр} – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если _набл > _{правост.кр} – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе находят сначала критическую точку _{правост.кр} по правилу 2 и полагают _{левост.кр}= – _{правост.кр}.

Если _набл > – _{правост.кр} – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если _набл < – _{правост.кр} – нулевую гипотезу отвергают.

86. Критерий согласия Пирсона. Критерий Пирсона позволяет производить проверку согласия эмпирической функции распределения с гипотетической функцией , принадлежащей к некоторому множеству функций определенного вида (нормальных, показательных, биномиальных и т.д.).

Пусть СВ имеет функцию распределения , принадлежащую некоторому классу функций . Из генеральной совокупности извлечена выборка объема .

Разобьем весь диапазон полученных результатов на частичных интервалов равной длины, и пусть в каждом частичном интервале оказалось измерений, причем . Составим сгруппированный статистический ряд распределения частот:

Интервалы наблюдаемых значений СВ			…		…
Частоты			…		…

Требуется на основе имеющейся информации проверить нулевую гипотезу о том, что гипотетическая функция распределения значимо представляет данную выборку, т.е. .

При проверке нулевой гипотезы с помощью критерия согласия придерживаются следующей последовательности действий:

1) на основании гипотетической функции вычисляют вероятности попадания СВ в частичные интервалы :

;

2) умножая полученные вероятности на объем выборки , получают теоретические частоты частичных интервалов , т.е. частоты, которые следует ожидать, если нулевая гипотеза справедлива;

3) вычисляют выборочную статистику (критерий) :

. (28.1)

Замечание 1. При проверке гипотезы о нормальном распределении СВ вероятности попадания СВ в частичные интервалы находят по формуле: Ф – Ф , где Ф – функция Лапласа (приложение 2).

Если нулевая гипотеза верна, то при распределение выборочной статистики (28.1) независимо от вида функции стремится к распределению с степенями свободы ( – число частичных интервалов; – число параметров гипотетической функции , оцениваемых по данным выборки).

Критерий сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия , тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Поэтому для проверки нулевой гипотезы применяется критерий с правосторонней критической областью. Следовательно, для того, чтобы проверить нулевую гипотезу, необходимо найти по таблицам квантилей -распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы критическое значение , удовлетворяющее условию . Сравнивая наблюдаемое значение выборочной статистики , вычисленное по формуле (28.1), с критическим значением , принимаем одно из двух решений: 1) если _набл , то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной , т.е. считается, что гипотетическая функция не согласуется с результатами эксперимента; 2) если _набл < , то считается, что нет оснований для отклонения нулевой гипотезы, т.е. гипотетическая функция согласуется с результатами эксперимента. Замечание 2. При применении критерия необходимо, чтобы в каждом частичном интервале было не менее 5 элементов. Если число элементов (частота) меньше 5, то рекомендуется объединять такие частичные интервалы с соседними.

87. Предмет линейного программирования. Понятие задачи линейного программирования. Линейное программирование – раздел высшей математики, занимающийся разработкой метода отыскания экстремальных значений линейной функции, на неизвестное которой наложены линейные ограничения.

Задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Однако для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум нельзя применить хорошо разработанные методы матанализа.

Действительно, пусть необходимо исследовать на экстремум линейную функцию Z= при линейных ограничениях = (i= )

Необходимым условием экстремума является

= 0 (j= )

Однако для данной функции = (j= )

Так как все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, то внутри области, образованной системой ограничений, экстремальной точки не существует. Они могут быть только на границе области.

Для решения таких задач разработаны специальные методы линейного программирования, которые особенно широко применяются в экономике. Рассмотрим пример линейной экономической задачи.

Целевая функция может быть как на максимум, так и на минимум.

 

88. Формы записи ЗЛП, их эквивалентность. Преобразование ЗЛП к канонической форме. Модель задачи линейного программирования может быть записана в одной из 3 форм:

1)Общая или производная форма записи

max(min)Z= (29.4)

при ограничениях 29.5

= 0 (j= ), (j= ) – произвольные

2)Симметричная или стандартная форма записи

max Z= или min Z=

 

3)Каноническая или основная форма записи

max Z= (29.7)

Указанные 3 формы записи задач линейного программирования эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть сведена к другой форме, то есть если имеется способ нахождения оптимального решения задачи в одной из указанных форм, то тем самым может быть определён оптимальный план задачи в любой другой форме.

Так при необходимости задачу минимизации можно заменить на задачу максимизации и наоборот. Неравенство со знаком ≤ путём умножения левой и правой части на (-1) можно превратить в неравенство со знаком ≥

Ограничения неравенства

преобразуем в ограничение равенство путём прибавления (вычитания) к левым частям дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных