Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины

Ранее отмечалось, что статистика c² принимает только неотрицательные значения, причём в нуль она обращается в единственном случае – при совпадении эмпирических и теоретических частот.

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики c² будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведёт к достаточно большим отклонениям от нуля значений c².

Поэтому хотелось бы найти тот рубеж, называемый критическим значением (критической точкой) и обозначаемый через , который разбил бы всю область возможных значений статистики c² на два непересекающихся подмножества (рис.4): область принятия гипотезы, характеризующуюся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяющуюся неравенством .

Рис. 4 Рис. 5

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений в критическую область должна быть мала, так что событие { } должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим её через a:

,

называется уровнем значимости.

Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое-либо малое значение уровня значимости a (как правило, a=0,05 или a=0,01) и найдём как корень уравнения

с неизвестной х. Поскольку распределение статистики c² близко при n®¥ к c² -распре­делению с r степенями свободы, то

и приближённое значение можно найти из уравнения

.

Последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число х>0, при котором площадь под графиком функции k_r(t) (плотности c² -распределения) над участком [х; +¥) равна a (рис. 5). На практике решение последнего находят при помощи специальных таблиц, позволяющих по двум входным параметрам – уровню значимости a числу степеней свободы r определить критическое значение .

Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью c² -критерия Пирсона:

1) Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n³100).

2) Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8-12) промежутков

так, чтобы количество результатов измерений в каждом из них (называемое эмпирической частотой n_i) оказалось не менее пяти.

3) Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).

4) С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности p_i и теоретические частоты попадания значений случайной величины в i -й промежуток.

5) По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значение статистики c²,обозначаемое как .

6) Определяют число r степеней свободы.

7) Используя заданное значение уровня значимости a и найденное число степеней свободы r, по таблице находят критическое значение .

8) Формулируют вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез

‑ если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипо­тезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

‑ если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.