Статистические методы обработки экспериментальных данных

Статистические методы обработки экспериментальных данных

Выполнил: студент

курс 2

группа

форма обучения дневная

Номер зачетной книжки

Вариант № 14

Допущено к защите

Дата защиты

Результат защиты

Подпись преподавателя

Москва, 2009

Задание к курсовой работе

1. Выписать интервальное и точечное статистические распределения результатов наблюдений. Построить полигон и гистограмму относительных частот.

2. Найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

3. Изобразить графики и выписать формулы плотностей трёх основных непрерывных распределений – нормального, показательного и равномерного. Выдвинуть гипотезу о распределении рассматриваемой случайной величины.

4. Выписать формулу теоретической плотности распределения. На одном чертеже изобразить гистограмму и график теоретической плотности, вычислив значения последней в серединах интервалов.

5. Проверить выдвинутую гипотезу о законе распределения случайной величины с помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости a =0,05.

 

Исходные данные к курсовой работе

Вариант 28

 

0; 4,2	4,2; 8,4	8,4; 12,6	12,6; 16,8	16,8; 21,0	21,0; 25,2	25,2; 29,4	29,4; 33,6

 

3,6; 37,8	37,8; 42,0	42,0; 46,2

 

Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии

В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

‑ для математического ожидания

(выборочная средняя),

‑ для дисперсии

(исправленная выборочная дисперсия),

где n – объём выборки, n_i – частота значения x_i.

Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

, .

Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии осуществим с помощью расчётной таблицы 2.

 

Таблица 2

 

 

 

Группировка исходных данных

Критерий Пирсона применяется к сгруппированным данным. Предположим, что было произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через n_i количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших
в i -й промежуток. Очевидно, что .

Отметим, что критерий c ² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере ;

2) в каждом промежутке окажется не менее 5-10 результатов измерений, то есть при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

Пусть концами построенного разбиения являются точки z_i, где z₁<z₂<…<z_l-1, то есть само разбиение имеет вид

Произведем группировку для данного варианта. Объединим последние три промежутка разбиения, заменим самую левую границу разбиения на , а самую правую на и придём к следующему интервальному распределению, пригодному для непосредственного применения критерия Пирсона:

 

zi-1; zi	; 4,2	4,2; 8,4	8,4; 12,6	12,6; 16,8	16,8; 21,0	21,0; 25,2	25,2; 29,4	29,4; 33,6	33,6;
ni

 

Рис. 4 Рис. 5

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений в критическую область должна быть мала, так что событие { } должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим её через a:

,

называется уровнем значимости.

Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое-либо малое значение уровня значимости a (как правило, a=0,05 или a=0,01) и найдём как корень уравнения

с неизвестной х. Поскольку распределение статистики c² близко при n®¥ к c² -распре­делению с r степенями свободы, то

и приближённое значение можно найти из уравнения

.

Последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число х>0, при котором площадь под графиком функции k_r(t) (плотности c² -распределения) над участком [х; +¥) равна a (рис. 5). На практике решение последнего находят при помощи специальных таблиц, позволяющих по двум входным параметрам – уровню значимости a числу степеней свободы r определить критическое значение .

Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью c² -критерия Пирсона:

1) Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n³100).

2) Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8-12) промежутков

так, чтобы количество результатов измерений в каждом из них (называемое эмпирической частотой n_i) оказалось не менее пяти.

3) Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).

4) С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности p_i и теоретические частоты попадания значений случайной величины в i -й промежуток.

5) По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значение статистики c²,обозначаемое как .

6) Определяют число r степеней свободы.

7) Используя заданное значение уровня значимости a и найденное число степеней свободы r, по таблице находят критическое значение .

8) Формулируют вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез

‑ если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипо­тезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

‑ если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.

Статистические методы обработки экспериментальных данных

Выполнил: студент

курс 2

группа

форма обучения дневная

Номер зачетной книжки

Вариант № 14

Допущено к защите

Дата защиты

Результат защиты

Подпись преподавателя

Москва, 2009

Задание к курсовой работе

1. Выписать интервальное и точечное статистические распределения результатов наблюдений. Построить полигон и гистограмму относительных частот.

2. Найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

3. Изобразить графики и выписать формулы плотностей трёх основных непрерывных распределений – нормального, показательного и равномерного. Выдвинуть гипотезу о распределении рассматриваемой случайной величины.

4. Выписать формулу теоретической плотности распределения. На одном чертеже изобразить гистограмму и график теоретической плотности, вычислив значения последней в серединах интервалов.

5. Проверить выдвинутую гипотезу о законе распределения случайной величины с помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости a =0,05.

 

Исходные данные к курсовой работе

Вариант 28

 

0; 4,2	4,2; 8,4	8,4; 12,6	12,6; 16,8	16,8; 21,0	21,0; 25,2	25,2; 29,4	29,4; 33,6

 

3,6; 37,8	37,8; 42,0	42,0; 46,2