Вычисление теоретических частот

 

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических частот с теоретическими. Эмпирические частоты n_i определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее через , находят с помощью равенства

,

где n – количество испытаний, а ‑ теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i -й промежуток (). Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законах распределения изучаемой случайной величины.

В данном варианте принята гипотеза о показательном распределении случайной величины. В этом случае теоретическая вероятность p_i при любом i вычисляется по одной из следующих трёх формул (в зависимости от взаимного расположения i -го промежутка и числа x₀):

 

Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице 4.

 

Таблица 4

Вариант 28 (n =160; l =0,10; x₀ =2,11)

5.3. Статистика c² и вычисление её значения по опытным данным

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределений.

В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

,

называемая статистикой c² или статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда , причём c² =0 тогда и только тогда, когда при каждом i, то есть когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях c² ¹0; при этом значение c² тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

Вычислим значение статистики c² для данного варианта в таблице 5.

Таблица 5

 

 

5.4. Распределение статистики c²

Говорят, что случайная величина имеет c²-распределение с r степенями свободы (r =1; 2; 3;…), если её плотность имеет вид:

где c_r – некоторая положительная величина (c_r определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение c² с r степенями свободы, будет обозначаться через c_r².

Вернёмся теперь к статистике . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, что закон распределения статистики c² зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты n_i); 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа l); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности p_i и теоретические частоты ).

Если выдвинутая гипотеза верна, то, очевидно, закон распределения статистики c² зависит только от закона распределения измеряемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле в этом случае справедливо куда более сильное утверждение, а именно: при достаточно больших n закон распределения статистики c² практически не зависит ни от закона распределения изучаемой случайной величины, ни от количества произведенных опытов: при n®¥ распределение статистики c² стремится к c²-распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через c².

Если в качестве предполагаемого выбрано одно из трёх основных непрерывных распределений, то r=l-3, где l – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

,

где ‑ количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.