Частотные характеристики САУ

 

Наряду с методом временных характеристик в теории автоматического управления широко используются методы частотных характеристик, которые определяют поведение системы при подаче на ее вход гармонических колебаний.

Если на вход системы (или отдельного звена) подавать гармонические (синусоидальные) колебания с постоянной амплитудой f _о и частотой w₁

, где ,

 

то после затухания переходных процессов на выходе также возникнут синусоидальные колебания

 

 

с той же частотой w₁, но с другой амплитудой , сдвинутые по фазе на величину j₁ относительно входных колебаний (рис.), где .

 

Начертим в декартовой системе координат Р (w), Q (w) вектор, начало которого совпадает с началом координат, модуль (длина вектора) равен , а аргумент (угол между положительным направлением оси абсцисс и данным вектором, причем положительное направление угла откладывается против часовой стрелки) равен углу w₁ (обычно j₁ отрицательно). У конца вектора сделаем отметку w₁ (рисунок).

Изменим теперь частоту w колебаний, подводимых на вход системы, не меняя их амплитуды. Пусть w=w₂. Тогда и на выходе установятся колебания частоты w₂:

 

 

 

Построим на графике вектор с модулем , аргументом – j₂ и отметкой w₂.

Аналогично повторив эксперимент при новом значении w = w₃, построим на этом же рисунке вектор с отметкой w₃ и т.д. для разных значений w от w = 0 до w = ¥ (практически до достаточно больших w) и соединим плавной линией концы этих векторов. Построенная таким образом кривая называется амплитудно–фазовой характеристикой (АФХ) или комплексной частотной характеристикой (КЧХ) линейной системы W (j w).

Кривая зависимости от w называется амплитудно–частотной характеристикой системы А (w), а кривая зависимости j от w – ее фазочастотной характеристикой j(w).

Обозначим через Р (w) и Q (w) проекции вектора АФХ на оси абсцисс и ординат. Кривые зависимости Р и Q от w называются соот­ветственно вещественной (действительной) и мнимой частотными характеристиками системы.

Частотные характеристики могут быть получены и расчетным путем – по передаточной функции системы W (p). Приведем соответствующую методику без доказательств.

Пусть передаточная функция системы W (p) представлена в виде:

.

 

Придадим оператору р чисто мнимое значение р = j w, и получаем

 

Представим числитель и знаменатель W (j w) в виде комплексных выражений:

 

 

где B (w) = b _о – b ₂ w² + b ₄ w⁴ – …, C (w) = b ₁ w – b ₃ w³ + b ₅ w⁵ –…,

M (w) = a ₀ – a ₂ w² + a ₄ w⁴ – …, N (w) = a ₁ – a ₃ w³ + a ₅ w⁵ – …

 

Освобождаясь от мнимости в знаменателе, получим:

 

 

где – вещественная частотная характеристика системы;

– мнимая частотная характеристика системы.

Р (w) и Q (w) соответствуют аналогичным функциям, рассматривавшимся при экспериментальном определении W (j w), т.е. это проекции вектора АФХ на оси абсцисс и ординат.

Для вполне определенной частоты w₁ в декартовой системе координат функции W (j w₁) соответствует точка с координатами Р (w₁) и Q (w₁), являющаяся концом вектора, проведенного из начала координат (рис.).

Но с другой стороны, любой вектор можно задать его полярными координатами (модулем и аргумен–том), т.е. где – амплитудно–частотная характеристика при w = w₁; – фазочастотная характеристика при w = w₁. Таким образом, амплитудно–фазовая характеристика W (j w) может быть задана функциями Р (w) и Q (w) либо характеристиками А (w), j(w):

 

 

.

 

Дадим определения всем указанным характеристикам.

Амплитудно–фазовой характеристикой (АФХ) называется зависимость отношения выходной величины системы к входной величине, выраженного в комплексной форме, от частоты в установившемся режиме.

Амплитудно–частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость от частоты отношения амплитуды синусоидальной величины на выходе звена к амплитуде синусоидальной величины на входе.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость разности фаз синусоидальных колебаний на выходе и входе системы.

Вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) называется зависимость величины проекции АФХ на вещественной оси Р (w) от частоты входного синусоидального воздействия.

Мнимой частотной характеристикой (МЧХ) называется зависимость величины проекции АФХ на мнимой оси Q (w) от частоты входного синусоидального воздействия.

 

 

Литература

 

1. Львовский Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул. М.: Высшая школа, 1988.

2. Щиголев В. М. Математическая обработка наблюдений. М.: Изд. «Наука», 1969.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1975.

5. Ерофеев А. А. Теория автоматического управления. Санкт–Пет.: «Политехника, 2001.

 

Оглавление

 

Тема 1. Случайные события и случайные величины, их числовые характеристики......................................... 1.1. Математические модели эксперимента, учитывающие случайный разброс его результатов................... 1.2. Случайные события............................................. 1.3. Случайные величины........................................... 1.4. Примеры законов распределения случайной величины................................................................................. Тема 2. Точечное оценивание параметров. Регрессионный и корреляционный анализ.................................. 2.1. Выборочный метод............................................... 2.2. Связь между случайными величинами. Корреляция.................................................................................... 2.3. Регрессия............................................................... Тема 3. Проверка статистических гипотез и построение доверительных областей для параметров............... 3.1. Доверительные интервалы и доверительные вероятности............................................................................. 3.2. Оценка генерального среднего............................. 3.3. Оценка генеральной дисперсии............................ 3.4. Проверка статистических гипотез........................ 3.5. Проверка адекватности уравнения регрессии (математической модели)................................................... Тема 4. Математическое описание случайных сигналов в системах управления.............................................. 4.1. Случайные процессы............................................ 4.2. Стационарные случайные процессы.................... 4.3. Корреляционная функция..................................... 4.4. Спектральная плотность....................................... Тема 5. Понятие передаточной функции и частотных характеристик системы.................................................... 5.1. Элементы операционного исчисления. Преобразование Лапласа.................................................................. 5.2. Понятие передаточной функции.......................... 5.3. Временные и частотные характеристики САУ.... Литература.........................................................................

-         -     -     -