Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется всякое предположение о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Статистические гипотезы делятся на:

параметрические – сформулированные относительно параметров (среднего значения, доли, дисперсии и др.) распределения известного вида;

непараметрические – сформулированные относительно вида распределения (например, оценка по выборке нормальности генеральной совокупности).

Выдвигаемая гипотеза называется основной или нулевой (Н₀). Гипотеза, противоположная нулевой, называется конкурирующей или альтернативной (Н₁).

Так как проверка статистических гипотез осуществляется по выборочным данным, то возникает возможность принятия ошибочных решений. Различают ошибки первого и второго рода.

Ошибка первого рода заключается в том, что будет отвергнута правильная гипотеза, т.е. когда в действительности верна Н₀ гипотеза, а в результате проверки она была отвергнута и принята гипотеза Н₁. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается .

. (13.1)

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза, т.е. в действительности верна некоторая альтернативная гипотеза, а по выборочным данным была принята неверная гипотеза Н₀. Вероятность ошибка второго рода обозначается .

. (13.2)

Существует правильное решение двух видов:

и . (13.3)

Статистическим критерием (К) называют случайную величину, с помощью которой при имают решение о принятии или отклонений нулевой гипотезы.

Проверка статистических гипотез обычно осуществляется в определенной последовательности.

1. Располагая выборочными данными, формулируют нулевую и конкурирующую гипотезы.

2. Задают уровень значимости (обычно принимают =0,1; 0,01;

3. Выбирают критерий К, по которому будет проверяться выдвинутая гипотеза. Обычно используют следующие распределения критериев:

u – нормальное распределение:
распределение Пирсона (xu – квадрат);

t – распределение Стьюдента;

F – распределение Фишера - Снедекора.

4. На основании выборочных данных определяют фактически наблюдаемое значение критерия К_н.

5. В зависимости от вида альтернативной гипотезы находят, по соответствующей таблице, критические значения критерия для двусторонней или односторонней области ( или ). Если фактически наблюдаемые значения критерия попадают в критическую область, то нулевая гипотеза отвергается. В противном случае принимается нулевая гипотеза и считается, что она не противоречит выборочным данным (при этом существует возможность ошибки с вероятностью равной ).

1 Имеется распределение сельскохозяйственных предприятий Краснодарского края по урожайности озимой пшеницы. Требуется проверить нулевую гипотезу, что совокупность предприятий по урожайности озимой пшеницы распределяется по нормальному закону. Уровень значимости принять равным 0,05.

Таблица 10 – Распределение предприятий по урожайности озимой

пшеницы

Группы хозяйств по урожайности, ц/га	До 30	30-40	40-50	50-60	60-70	Свыше 70	Всего
Число хозяйств

2 Выборочным методом изучались цены на картофель на продовольственных рынках города. Получено следующее распределение продавцов по уровню цен.

Таблица 11 – Распределение продавцов по цене на картофель

Группы продавцов по цене за 1 кг, руб.	До 15	15-18	18-21	21-24	Свыше	Итого
Число продавцов

 

При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу, что цена на картофель на продовольственных рынках города распределяется по нормальному закону.

3 Сельскохозяйственные предприятия области по урожайности озимой пшеницы распределяются по нормальному закону с известным средним квадратическим отклонением ц/га и генеральной средней урожайностью ц/га. Из генеральной совокупности извлечена выборка 50 хозяйств, по которой определена выборочная средняя урожайность ц/га.

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу, что:

а)

б)

в)

4 Производитель печенья утверждает, что вес одной пачки составляет 200 г. Выборочное взвешивание 10 пачек дало следующие результаты: 198; 197; 199; 200; 197; 201; 199; 195; 197; 200. При уровне значимости проверить гипотезу, что средний вес пачки печенья действительно составляет 200 г.

5 Сливочное масло фасуется в пачки средним весом 170 г и средним квадратическим отклонением 3 г. Случайная выборка 20 пачек масла показала, что средний вес одной пачки равен 170,3 г. Проверить статистическую гипотезу при уровне значимости 0,05 о соответствии веса случайно взятой пачки масла, установленному весу.

6 Две фирмы производят однотипный товар. Утверждается, что 90% товаров первой фирмы реализуется повышенного качества, а второй фирмы 80 %. При выборочной проверке оказалось, что из 80 единиц товара первой фирмы повышенного качества 75, а из 60 единиц товара второй фирмы оказалось 45 единиц повышенного качества. При уровне значимости проверить гипотезы: а) о соответствии выборочных долей продукции высшего качества заявленной доле; б) о значимости различий в доле продукции высшего качества двух фирм.

7 Провести две случайные выборки по одному из показателей приложения 4, объемами n₁ и n₂. Проверить нулевую гипотезу о равенстве выборочных средних значений, при уровне значимости 0,05 (предполагается, что дисперсии неизвестны и одинаковы): а) n₁ = n₂ =20; б) n₁ = 20; n₂ =15.

8 Проводилось испытание 8 сортов озимой пшеницы. Каждый сорт высевался на 6 делянках одинаковой площади. При 5% уровне значимости проверить гипотезу о существенности различий в средней урожайности двух сортов озимой пшеницы (номера сортов даются студенту преподавателем).

Таблица 12 - Урожайность озимой пшеницы, ц/га

 

Повторение	Сорт
I
II
III
IV
V
VI

9 Произведено выборочное обследование 10% приусадебных участков восьми районов случайным бесповторным способом. Получены следующие результаты об урожайности овощей.

 

Таблица 13 – Урожайность овощей в хозяйствах населения

 

Район	Урожайность с 1 га, ц	Среднее квадратическое отклонение, ц/га	Доля овощей в площади участка, %	Число обследованных участков

 

При уровне значимости 0,05 по двум районам проверить гипотезы о равенстве: дисперсий, средних выборочных урожайностей, долей посевов овощей в площади приусадебных участков.

 

10 При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве успеваемости студентов по теории вероятностей и математике.

 

Таблица 14 – Оценки студентов на экзаменах

Номер студента

Теория вероятностей

Математика

11 - Результаты выступлений 10 спортсменов оценивались двумя судьями по десятибалльной шкале.

 

Таблица 15 – Оценки судей результатов соревнований спортсменов

Номер спортсмена
Оценка судьи		8,5		7,4	9,4	9,7	6,5	7,1	8,3	9,1	8,0
	8,3	9,1	7,7	9,3	9,2	6,0	7,3	8,1	9,1	7,9

 

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о значимости различий в оценке выступлений спортсменов двумя судьями.

 

12 Определенные сорта озимой пшеницы испытывались на одинаковом числе участков, на протяжении семи лет. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о существенности различий в урожайности двух сортов озимой пшеницы.

 

Таблица 16 – Урожайность озимой пшеницы по участкам

Год	Урожайность, ц/га
x1i	x2i	x3i	x4i	x5i	x6i	x7i	x8i

 

13 Имеются данные о числе сорняков в пробах семян помидор

 

Таблица 17 – Число сорняков в пробах

Число сорняков
Число проб

 

Проверить гипотезу о соответствии данного эмпирического вариационного ряда распределению Пуассона. Уровень значимости принять равным 0,05.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Сущность дисперсионного анализа заключается в том, что дисперсия изучаемого признака разлагается на сумму составляющих ее дисперсий, каждое слагаемое которой соответствует действию определенного источника изменчивости.

Например, в однофакторном анализе мы получим разложение вида:

а в двухфакторном:

где -общая дисперсия изучаемого признака С;

- дисперсия, вызванная влиянием фактора А;

- дисперсия, вызванная влиянием фактора В;

- дисперсия, вызванная взаимодействием факторов А и В;

- дисперсия, вызванная неучтенными случайными причинами (случайная дисперсия);

В дисперсионном анализе рассматривается нулевая гипотеза – ни один из рассматриваемых факторов не оказывает влияние на изменчивость признака.

Расчеты проводятся в следующей последовательности:

- определяются необходимые суммы квадратов отклонений результативного признака, в соответствии с моделью дисперсионного анализа;

- находится число степеней свободы вариации по каждому источнику;

- рассчитываются средние квадраты отклонений;

- определяются наблюдаемые и критические значения критерия F – Фишера – Снедекора, формулируются выводы относительно гипотезы Н₀;

- оценивается значимость различий групповых средних по вариантам опыта.

Если F_н F_кр, то делается вывод о сущности различий результативного признака, обусловленных влиянием признака – фактора, т.е. действие фактора на результативный признак признается статистически достоверным.

Рассмотрим алгоритм однофакторного дисперсионного анализа. Определенный фактор принимает p различных уровней и на каждой уровне сделано n наблюдений, что дает N=np наблюдений.

Данные обычно располагают в виде таблицы результатов X_ij (i=1,2,…,p; j=1,2,….,n):

 

Уровень фактора, i	Номер наблюдения, j
		....	n
А1	X11	X12	…	Xln
А2	X21	X22	…	X2n
....	….	...	…	…
Аi	Xil	Xi2	…	Xin
....	…	…	…	…
....	…	…	…	…
Аp	Xpl	Xp2	…	Xpn

Рассматриваем тождество Суммируя обе части уравнения по i и j и проведя преобразования, получим:

(Точка вместо индекса обозначает усреднение соответствующих наблюдений по этому индексу.)

Иначе можно записать: SS_o=SS_v+SS_z. Величина факторной суммы квадратов отклонений SS_v вычисляется по отклонениям p средних от общей средней .., поэтому S_v имеет (p-1) степеней свободы. Величина остаточной суммы квадратов отклонений SS_z вычисляется по отклонениям N наблюдений от p выборочных средних и, следовательно, имеет N-p=np-p=p (n-1) степеней свободы. Общая сумма квадратов отклонений SS_o имеет (N-1) степеней свободы.

 

Таблица 18 - Однофакторный дисперсионный анализ

 

Источник изменчивости	Суммы квадратов отклонений (SS)	Степени свободы (k)	Средние квадраты (s^2)
Общая		N-1
Различия между уровнями (факторная)		р-1
Различия внутри уровней (остаточная)		N-p

 

Если гипотеза о том, что влияние всех уровней одинаково, справедлива, то обе величины и будет несмещенными оценками . Значит, гипотезу можно проверить, вычислив отношение : и сравнив его с F_kp имеющего k_l= (p-1) и k₂=(N-p) степеней свободы.

Если F_н F_кр, то гипотеза о незначимом влиянии фактора A на результат наблюдений не принимается. В этом случае оценивается значимость различий между средними результативного признака по уровням факторного признака.

Для оценки существенности частых различий вычисляют:

а) среднюю ошибку средней арифметической

б) ошибку разности средних

в) наименьшую существенную разность

.

Сравнивая разности средних значений по вариантам с HCP, делают вывод о существенности различий в уровне средних.

 

1 Оценить существенность различий в успеваемости студентов по четырем предметам и группам. Численность студентов в каждой группе составляет 25 человек.

 

Таблица 19 - Уровень успеваемости студентов, балл

 

Предмет	Группы
	4,3	4,1	4,1	4,2	4,4	4,5	4,0	4,3
	4,2	4,0	3,9	4,0	4,3	4,3	3,7	3,9
	4,4	4,5	4,2	4,2	4,3	4,3	4,4	4,4
	3,9	3,9	4,0	4,1	4,2	4,4	4,1	4,2
	4,1	4,3	4,1	4,3	4,1	4,4	4,1	3,8
	4,3	4,4	4,2	4,4	4,4	4,1	4,2	4,0
	3,9	3,7	3,6	3,8	4,1	3,7	3,9	3,7
	4,1	4,2	4,0	4,3	4,3	4,1	4,2	4,1

 

2 Доказывает ли опыт влияние различных доз удобрений на урожайность озимой пшеницы

 

Таблица 20 - Урожайность озимой пшеницы с 1 га, ц

 

Доза удобрений	Повторения

 

3 Оценить различия в среднемесячной заработной плате механизаторов различной квалификации.

 

Таблица 21 – Средняя месячная заработная плата механизаторов, тыс. руб.

Класс механизаторов	Бригады
I	28,5	23,8	25,4	22,9	21,8	25,4	23,7	24,9	22,8	26,8
II	19,1	16,8	17,2	16,9	18,3	15,0	16,5	17,0	15,4	18,7
III	14,1	15,1	13,2	15,2	15,1	14,0	13,5	14,3	12,8	13,8

4 Оценить существенность влияния различных сортов и доз удобрений на урожайность риса.

 

Таблица 22 - Урожайность риса с 1га, ц

 

Сорт	Доза удобрений	Повторения

 

5 Оценить существенность различий уровня производительности механизаторов при культивации в различных хозяйствах по пропашным культурам и стажу работы механизаторов.

Таблица 23 - Объем выполненных работ механизаторами за 1 час

работы, эт. га

Культура	Стаж работы, лет	Хозяйства
Кукуруза на зерно	до 5 от 5 до 10 от 10 до 15	0,75 1,40 1,25	0,9 1,55 1,35	0,95 1,35 1,35	1,00 1,50 1,40
Кукуруза на силос	до 5 от 5 до 10 от 10 до 15	0,85 1,50 1,35	0,95 1,40 1,40	0,85 1,55 1,55	1,10 1,45 1,50
Подсолнечник	до 5 от 5 до 10 от 10 до 15	0,80 1,35 1,45	0,90 1,45 1,40	0,75 1,35 1,30	0,85 1,40 1,30